Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
можем точно предсказать изменение ее координаты: dx = vxdt =
(pxlm)dt.
С другой стороны, мы знаем и силы, действующие на частицу
(так как силы могут зависеть только от координат и скорости,
которые точно известны), и, следовательно, можем предсказать
изменение ее импульса: dpx = Fdt.
Таким образом, положение частицы на фазовой плоскости в
данный момент определяет ее положение в следующий момент и,
следовательно, всю ее траекторию. Если частица движется не в
одномерном, а трехмерном пространстве, то ее состояние будет
характеризоваться тремя координатами и тремя проекциями
импульса. Следовательно, в этом случае мы должны вместо фазовой
плоскости ввести шестимерное фазовое пространство; в остальном
же все сказанное выше остается в силе. Положение точки в фазовом
пространстве определяет ее прошлое и будущее, так как через
каждую точку проходит только одна фазовая траектория и ни одна
траектория не пересекается с другой *>.
Совершенно по-иному обстоит дело в квантовой механике;
начнем опять с разбора одномерного случая. Как мы только что
убедились, в классической механике состояние частицы
характеризуется для одномерного движения точкой на фазовой
плоскости. Соотношение (2.21) показывает, что в квантовой
механике состояние частицы характеризуется некоторой площадью
на фазовой плоскости: S>h.
Можно представить, что вся фазовая плоскость разбита на
ячейки площадью h и свойства элементарных частиц таковы, что
они не могут уместиться на меньшей площади, чем площадь одной
ячейки. При этом форма таких ячеек зависит от характера
движения частиц, но размер всегда
*) Если мы рассматриваем не одну частицу, а систему из N независимых
частиц, то ее состояние определяется заданием 3N координат и 3N
импульсов; следовательно, чтобы характеризовать такую систему одной
точкой, нужно ввести понятие о фазовом пространстве, имеющем 6 N
измерений. Объем фазовой ячейки в таком гиперпространстве равен h3N.
Так как величина h очень мала, то для системы, состоящей из очень
большого числа частиц, элементарная ячейка становится ничтожно малой.
Поэтому такие макроскопические системы хорошо описываются
классической механикой.
125
равен h *>. Эти представления позволяют по-другому сфор-
мулировать принцип Паули: в одной ячейке фазового пространства
может поместиться не более двух электронов с противоположно
направленными спинами.
Таким образом, если в классической механике состояние
частицы характеризуется точкой, то в квантовой согласно (2.22)
характеризуется прямоугольником площадью S = = АхАp>h, при
этом со временем эта неопределенность будет увеличиваться, так
как
Axt = Axt=o + ^t (2.23)
и
Apt = Apt=0 -f AFt, (2.24)
где ДF - неопределенность в силе, возникающей из-за
неопределенности в координате.
Таким образом вместо определенной (классической) траектории
в квантовой механике мы имеем пучок расходящихся траекторий.
Строгий анализ показывает, что соотношения, которые мы
пояснили на весьма частном примере, в действительности носят
весьма общий характер и полностью сохраняются для трехмерного
пространства (и шестимерного фазового пространства).
В этом случае, как мы уже упоминали,
Ах A px>h,
AyApy^-h, (2.25)
AzAp^h
и, следовательно, перемножая, получаем
AV - ДпДП >/г3, (2.26)
где Av - объем в обычном пространстве;
ДП - объем в пространстве импульсов и ДУ- объем в
шестимерном фазовом пространстве. Таким образом, обобщенные
координаты частицы (включая сюда и проекции импульса) могут
быть определены не точнее положения частицы в элементарной
ячейке фазового пространства объемом /г3, причем с течением вре
•) При движении частицы в трехмерном пространстве фазовое
пространство имеет шесть измерений и объем одной ячейки равен Л3 (см.
ниже).
126
мени этот начальный объем еще более "расплывается". Теория
также показывает, что в зависимости от конкретных условий
существования частицы форма элементарной ячейки фазового
пространства может варьироваться в весьма широких пределах, но
объем ее всегда остается равным /г3. Может возникнуть
естественный вопрос: почему же не "расплываются" все предметы,
существующие вокруг нас и мы сами?
В действительности дело обстоит следующим образом. Для
макроскопических предметов неопределенность, возникающая в
результате соотношения (2.23), весьма незначительна. В самом деле,
представим себе пылинку весом К)-3 г и представим, что ее
начальная координата Дх0 определена с точностью до 10~3 см. В
этом случае минимальная неопределенность в начальной скорости
будет
Это значит, что со временем неопределенность в координате будет
расти по закону
Ах = Ах0 + Avt = l О"3 + 10~(tm)t,
т. е. Ах удвоится приблизительно через 1012 лет! Очевидно, что за
такой срок и с самой пылинкой и во всей вселенной произойдут
более существенные перемены. Этот пример, таким образом,
иллюстрирует тот факт, что принцип неопределенности не
