Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
виду формуле (1.52) для теплопроводности газа:
xp = -~-CwJ9, (1.64)
где С - теплоемкость 1 см3 решетки (С = с"р, с"- удельная
теплоемкость и р - плотность);
Шф -скорость звука*);
/ф -средняя длина свободного пробега упругих волн -
фононов) см. ниже).
Рассмотрим каждый сомножитель, входящий в правую часть
(1.64), отдельно.
Скорость звука w<$ выражается через плотность р, и модуль
сжимаемости - через g0:
(1-65)
Эта величина сравнительно слабо отличается в различных
твердых телах и обычно приблизительно равна 105 см Iсек.
Рассмотрим первый множитель в (1.64) -теплоемкость
единицы объема. Для этого представим себе, что рассматриваемый
нами кристалл находится в тепловом равновесии с окружающим его
газом (полученные таким образом результаты будут справедливы и
для твердого тела в вакууме). Молекулы газа, бомбардируя
поверхность кристалла, будут обмениваться с его атомами энергией,
поэтому в состоянии равновесия средние кинетические энергии
атомов твердого тела и газа будут одинаковы и равны 3/2kT. Но
энергия колеблющихся атомов состоит из кинетической и
потенциальной; в момент максимального отклонения вся энергия
переходит в потенциальную, в момент прохождения через
положение равновесия вся энергия переходит в кинетическую, а в
среднем (во времени) они должны быть равны. Следовательно,
среднее значение
*) Точнее, в (1.64) вместо с"ф должно быть поставлено шгр- групповая
скорость тепловых колебаний (см. гл. 2 и 6).
потенциальной энергии колеблющегося атоМа должно быть тоже
3l2kT, полная энергия Ш = 3kT; полная энергия % грамм-атома
любого вещества, таким образом, должна быть одна и та же и равна
= $N = 3RT (где N - число Авогадро и R - универсальная газовая
постоянная). Тогда теплоемкость грамм-атома
С = -~- = 3R^6 кал/моль. (1.66) *>
Соотношение (1.66), носящее название закона Дюлонга и Пти, в
память ученых, установивших его эксперимен-
с
Рис. 1.11. Температурная зависимость теп-
лоемкости твердого тела:
. / - функция Эйнштейна; 2 - функция Дебая.
Кружками отмечены экспериментальные точки.
тально, нашло блестящее подтверждение в измерениях
теплоемкости большого количества материалов при комнатной и
более высоких температурах. Однако в дальнейшем исследования в
области низких температур показали, что теплоемкость всех тел
здесь падает по кривой, аналогичной кривой 2, представленной на
рис. 1.11, причем
*) Для твердых тел теплоемкости при постоянном давлении (ср) и
постоянном объеме (с") очень мало отличаются друг от друга; это связано с
тем, что при изменении давления объем твердого тела меняется очень слабо
(по сравнению с газом), и поэтому работа при этом совершается очень малая;
поэтому в дальнейшем мы не будем для твердого тела делать различия между
с" и ср и индекс при с будем опускать.
температура 0, при которой начинается это падение (названная в
дальнейшем температурой Дебая), для различных тел" различна *>.
Для объяснения аномального поведения теплоемкости
Эйнштейн в 1911 г. предположил, что энергия колеблющегося атома
(осциллятора) не может меняться непрерывно,
&
¦
€,
hi? ... *
к
4
:-:-1=
hi?
?
I
. :
*
in
;
hi?/2
-•-g
*
N
X=2a
и т.д.
а)
*)
в)
Рис. 1.12. Энергетический спектр квантованного осциллятора (а),
распределение атомов газа по энергиям (б) и энергетический спектр цепочки
атомов (в).
а изменяется лишь определенными порциями - квантами, причем
величина этой порции связана с частотой колебаний соотношением
е0 = hv, (1.67)
где h - некоторая универсальная постоянная, равная h = = 6,57• 10-
27 эрг-сек**>.
На рис. 1.12, а изображен энергетический спектр такого
квантованного осциллятора. В соответствии со сказанным выше он
состоит из серии линий, отстоящих друг от друга на равное
расстояние е0 = hv. Самый нижний уровень соответствует
состоянию с энергией .'Av/2***). Если частота колебаний равна,
например, 1013 сек, то е0 " К)-13 эрг.
Представим снова, что твердое тело, состоящее из таких
квантованных осцилляторов, окружено газом и находится в
тепловом равновесии с ним, причем температура газа
*) Но если чертить эту зависимость в относительных координатах 770,
как это сделано на рис. 1.11, то с (770) сливаются для различных тел в одну
универсальную кривую.
**) Понятие кванта и величина А (названная постоянной Планка) уже за
десять лет до этого были введены Планком в теорию электромагнитного
излучения.
***) Это состояние (так называемых нулевых колебаний) соответствует
температуре абсолютного нуля.
4" 61
100* К. При такой температуре средняя кинетическая энергия
атомов газа (3l2kT " 0,015 эв) будет много меньше е0. (Значение
энергии, равное 3l2kT, нанесено на графике штриховой линией.)
Если бы все атомы газа обладали такой энергией, недостаточной
для перевода осцилляторов в первое возбужденное состояние, то
