Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
---4- 1 е ftr
"J--и /р(=1-(9.51)
---4-1 е кт +
Подставляя (9.50) и (9.51) в (9.48) и проведя интегрирование, получаем
окончательно
UC7l *- [1 *
hT
I fptNt \jf(%)N(%)cn(%)d%, (9.52)
*) Соотношения с" и е" будут ниже найдены из принципа детального
равновесия.
27 -106S 417
где интегрирование проводится по всем уровням зоны проводимости.
Полученное выражение весьма наглядно. Оно показывает, что скорость
захвата пропорциональна: 1) числу свободных ловушек Itt^t, 2) числу
электронов в зоне проводимости (подынтегральное выражение),
умноженному на сп (%), их вероятности захвата и 3) степени отступления от
равновесного состояния - выражение в скобках.
Если система находится в состоянии равновесия, квазиуровни Ферми
для зоны и для ловушек совпадают и превращаются в общий уровень Ферми
Ft = Fn = F. (9.53)
Выражение в скобках уравнения (9.52) обращается в нуль. Если Fn >
Ft, т. е. концентрация носителей в зоне превышает необходимую для
поддержания равновесия с ловушками и рекомбинация превалирует над
генерацией, Ucn положительно. В случае Ft > Fn число забросов в зону
превышает число захватов - концентрация свободных носителей растет,
Ucn отрицательно.
Выражение, аналогичное Ucn, сможет быть выведено для Ucp -
интегральной скорости захвата дырок.
Выражение (9.52) сильно упрощается в случае невырожденного
полупроводника; как нетрудно убедиться, оно при этом приобретает вид
исп - [1-е ^ ] f ptnCn, (9.54)
где я - полная концентрация электронов в зоне проводимости, равная
n = Nce kT ; (9.55)
%с ¦- уровень, соответствующий дну зоны; Nс - эффективная
плотность состояний в зоне в интервале кТ, равная
Nc = ^ е hT N ($) d% = 2 (2jt^fer)2., (9.56)
%с
и Сп - средняя интегральная вероятность захвата для одного электрона
всеми ловушками (если бы все они были свободны),
Сп - Nt (сп),
где
<*> = $ е hT cn(%) N(%^% . (9.57)
%с
Как мы уже упоминали, первый член в квадратных скобках (9.52) (т. е.
единица) соответствует захвату носителей, а второй (Fn-Ff)/ftT е п 1 - их
тепловому забросу.
418
Ё случае отсутствия вырождения вероятность заброса не должна
зависеть от Fn, так как практически все уровни в зоне свободны.
Раскрывая скобки в (9.54), убедимся, что это действительно так (- Fn в
экспоненциальном члене и п входят с обратными знаками и взаимно
уничтожаются). Введя обозначение
р t~p п
fpine hT = ftNс ехр ( ^ ^с- j = ftnlt (9.58)
где
n1=.Ncexp , (9.59)
получим окончательно
Uсп ~ Cnf j)tti (9.60)
Аналогичные выражения для скорости рекомбинации дырок приведем
без вывода:
Ucp" CpftP Cpfpfpi, (9.61)
где
Pl = iVpexP(fc^) . (9.62)
Рассмотрим рекомбинацию в стационарных условиях, когда пары
электрон - дырка генерируются светом или каким-либо другим
ионизующим агентом с постоянной скоростью и и когда прошло достаточно
времени, для установления стационарного состояния; при этом скорости
рекомбинации электронов и дырок должны быть одинаковы и равны U:
Ucn = Ucp = U. (9.63)
Приравняв (9.61) и (9.60) и заменив fpt через ft согласно
= (9-64)
получим
Cn(l-ft)n- Cnfttii = Cpftp -Cp(l-ft)Pi. (9.65) Решив это
уравнение относительно ft, получим
f.-= Cnti + CpPi g6
Сп (п + ni) + Cp (P + Pi)
и
Cnfi i Срр
^pt Сп (п +ni) + Ср (p + Pi) ^
Подставив полученные выражения в (9.60) или (9.61),
получим
СпСр (рп Pi/ij)
Сп (п + п^ + Ср (p + Pi)
В выражении (9.68) произведение Plni, как нетрудно убедиться, не
зависит от уровня ловушек и имеет вид
%v-%c
Plnl = NcNpe kT =NcNpe hT =n\.
(9.69)
27* 419
Обозначим %i - положение уровня химического потенциала в
собственном полупроводнике:
*" = у (%c-%v) + -^kT\n1f-. (9.70)
В дальнейшем будем предполагать, что %t > %t и, следова-
тельно,
л1>л*>р1- (9*71)
Рассмотрим на основе полученного выражения случай малых
отступлений от состояния равновесия, полагая при этом, что кон-
центрация основных носителей велика по сравнению с концентра-
цией ловушек.
Таким образом, мы предположим, что
я = п0 + 6л И р = ро + бр, (9.72)
где п0 и ро - равновесные концентрации носителей;
6р и бп - малые величины.
Согласно (9.35) скорость рекомбинации связана с временем
жизни соотношением
и=г-Г' <9-
73>
воспользовавшись (9.73) и (9.72), мы можем получить выражение
для времени жизни
_ rip 4- nt 4- бл Р0 + Р1 + вр ^
(яо-ЬРо + 6я)Ср (Ло + Ро + бя)Сл
n0 + /4 + 6n , " Po + Pi + бп ,07<п
(по+Ро+бп) +Тл0 (пр + рр+бп) '
тро==7г- и Тдр = -3- . (9.75)
О-р ь71
Величина тр0 - время жизни дырок в образце ярко выраженного л-типа. В
этом случае ловушки практически все заполнены электронами и скорость
рекомбинации дырок
Оро = Ср0бр = . (9.76)
тро
Точно так же тп0 - время жизни электронов в образцах ярко выраженного
p-типа. В рассматриваемом нами случае малых отступлений от состояния
равновесия выражение (9.74) принимает вид
(9-77)
На рис. 9.5, б представлена зависимость времени жизни т от положения
