Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
°~ Л" J 1 + со2т2 Эе ft* J 1 + со2т2 Эе ^ 6 )
Точно так же можно получить выражение для jy:
jy = Ye2{LiEu - aL0Ex]. (7.64)
Полагая теперь jy = 0, находим холловское поле:
Еу = ^Ех, (7.65)
и, подставив из (7.65) в (7.61), найдем выражение для плотности
тока
/х = ^[^1+^о]?я> (7.66)
откуда электропроводность в магнитном поле
"<*>-?-* №•] <7-67)
346
постоянная Холла
п Еу __ Ех 3 Г I) I 1 д, 3 1<>
jxH Lj Я е2 L^i + 4)2L5J ?* emc L\ a)2/.J'
(7.67а)
Рассмотрим на основе полученных выражений частный
случай: слабые поля <р <С 1, параболическая зона и при-
менимость статистики Максвелла.
Пренебрегая ср = сот в знаменателе (7.62) и (7.63), полагая, как
мы делали раньше,
/ = агг и /0 = е hT
и подставляя в (7.62) и (7.63) dg = -^^E -
4я (2tn)3/'l&1/~ds = -5
получаем
Li = 4ar"g?I- e^J (кТГ'Г (г + 2) (7.68)
и
L0 = - Г"Л(а-(kT)2r+1/2e"* г(2г+|) , (7.69)
где Г (г+ 2) и Г ^2/ +yj- гамма-функции.
Напомним, что
р / я + М
\ хпе~ах2 dx = ^р-р- при а>0 и п> - 1, (7.70)
"3 О- П ' *
о 2а~Т-
при л целом и четном (n = 2k):
Г (п) - (п- 1)!, (7.71)
при п нечетном (п - 2&+1): Г (п) - (п- 1)! У"я, при
любом п
Г(л) = (л-1)Г(я-1) (7.72)
и, наконец, _
г(4)=-д?- <7-73)
Согласно (7.67а), (7.68) и (7.69)
/ 3 \
G помощью соотношений (7.71), (7.72), (7.73) и (7.74) нетрудно
получить выражения для постоянной Холла при конкретных
механизмах рассеяния, приведенных в гл. 1.
Совершенно аналогично могут быть получены из (7.66)
выражения для изменения электропроводности в магнитном поле:
Можно легко получить выражения, совершенно идентичные
(7.57) и (7.56) для функции распределения дырок, вычислить
дырочные токи jx и jy и затем рассмотреть собственную
проводимость. При этом мы должны будем приравнять к нулю
суммарный дырочный и электронный ток вдоль оси у и отсюда
получить связь между Ех и Еу. Мы здесь приведем вывод,
аналогичный сделанному выше, но менее строгий и более
наглядный.
Ток дырок по оси х jp~epvp = epupEx создает соответствующий
ток по оси у.
Так как /р и j" текут в одном направлении, то результирующий ток
по оси у равен их разности:
Для того чтобы на одной из боковых граней не накапливались
заряды, холловское поле Еу должно создать ток, равный и
противоположно направленный /". Таким образом, условие
стационарности будет иметь вид
Ап (Щ п (Я) Пр _ р
По По
(7.75)
где
(7.76)
(7.78)
аналогично можно вычислять электронный ток:
(7.79)
^(ulp-uln).
(7.80)
= ЕуО = Eve (upp + unn),
(7.81)
348
откуда
Н (ul,p - и*п)
ЕУ = - ЕХ --1- -г- " ¦
(7.81а)
" с ирр + ипп ' '
При таких условиях полный ток на боковой поверхности
образца равен нулю, так как ток дырок равен току электронов по
величине, но противоположен по знаку. Нетрудно подсчитать
каждый из этих токов в отдельности:
/р = /п = у-^^ (ulp+uln). (7.82)
В этом случае также на одной грани будет повышенная
концентрация носителей и рекомбинация будет преобладать над
диссоциацией, что будет сопровождаться выделением тепла, на
противоположной грани будет пониженная концентрация
носителей и диссоциация будет преобладать над рекомбинацией,
что вызовет поглощение тепла. Этот процесс в известной мере
аналогичен биполярной дйффузии при наличии градиента
температур, но кардинально отличается тем, что сам создает
разность температур, которая получила название эффекта
Эттингсгаузена (см. следующий параграф).
Выразив Ех через jx, получим выражение постоянной Холла:
п 1 UlP~Unn (7 ао\
jxH - ес (ирР + ипп)2 • *
Более строгий расчет дает выражение
A utp-и\п
Rx = - , v , \i- (7-84)
ес (upp+u"n)2 >
Постоянная А, так же как и в случае одного знака носителей,
определяется механизмом рассеяния, А = Зя/8 в атомной решетке и
т. д.
Нетрудно убедиться, что: а) в случае, если п = 0 или р = 0,
(7.84) переходит в (7.74) и б) если п = р и ир = ип, постоянная Холла
равна нулю, а следовательно, и э. д. с. Холла равна нулю.
Согласно (7.84) в области собственной проводимости знак э. д.
с. Холла соответствует знаку носителей, подвижность которых
больше, т. е. обычно электронов, поэтому в примесном
дырочном проводнике э. д. с. Холла при
переходе к собственной проводимости обычно проходит
через нуль и меняет знак.
34$
В случае смешанной проводимости выражение для
электропроводности имеет вид
о - е (ирр+ ипп). (7.85)
Как видно из (7.84) и (7.85), в этом случае одновремен-
ное измерение постоянной Холла и электропроводности
не дает достаточных данных для определения подвижно-
сти и концентрации электронов и дырок, так как мы имеем
два уравнения с четырьмя неизвестными. В этом случае
можно выйти из положения, найдя значения подвижности
дырок или электронов экстраполяцией из области при-
месной проводимости, а также воспользовавшись соотно-
шением п - р - N,i. Задача может быть также решена,
если к (7.84) и (7.85) добавить еще независимые уравне-
ния, т. е. одновременно измерить другие эффекты.
