Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
интегралом; таким образом получаем
"р = \ т (Я) С (Я) w№ dq, (6.83)
где
С (q) = JL {hWqN-q) = 1*"J! . (6.84)
(eftT-1)2
Следует подчеркнуть, что из (6.78) отнюдь не следует, что
тепловое сопротивление решетки 1/хр слагается аддитивно из
сопротивлений, обусловленных различными видами дефектов и
межфононным взаимодействием:
(6.85)
i
Объясняется это тем, что различные виды рассеяния имеют
различные зависимости от со (а следовательно, и от q) и от
температуры. Поэтому при наличии нескольких видов рассеяния
интегрирование выражения (6.83) дает сложную зависимость от
температуры и концентрации различных видов дефектов. Правило
Маттисона (т. е. аддитивность различных видов сопротивлений)
имеет место тогда, когда один тип рассеяния превалирует над
всеми остальными. Отметим некоторые закономерности, которые
вытекают из выражения (6.83).
Так как при достаточно низких температурах все виды
колебаний "вымерзают", за исключением очень длинных волн, а
для последних играет роль рассеяние только на границах зерен и
при этом I не зависит от температуры, то поэтому при Т 0
теплопроводность должна изменяться аналогично изменению
теплоемкости, т. е. х ~ Т3 при Т 0. По мере роста температуры
начинают "бороться" два фактора: 1) рост числа колебаний,
переносящих тепло и 2) рост межфононного рассеяния. Короткие
волны и оптические фононы почти не переносят тепло, но играют
существенную роль в рассеянии длинноволновых фононов, поэтому
теплопроводность переходит через максимум при температуре,
значительно ниже дебаевской, и вначале после максимума падает
быстрее, чем Т~1 (рис. 6.13).
В кристаллах, не содержащих дефектов, теплопроводность при
температурах выше дебаевской обратно про
327
порциональна температуре при небольшом количестве
дефектов:
-±- = аТ + Ь (6.86)
Хр
(т. е. сопротивление, вносимое фононным и дефектным
рассеяниями, аддитивно). В промежуточной области зави-
симость к от температуры, числа и характера дефектов
может носить весьма слож-
ный характер.
В заключение заметим, что
для решения кинетического
уравнения (6.61) для фононов
наряду с методом времени ре-
лаксации широко применя-
ются вариационные методы.
Сущность их заключается
в следующем.
Как упоминалось в гл. 4,
в адиабатически изолирован-
ной системе в равновесии уста-
навливается такое распреде-
ление частиц по энергиям
и пространству, которое соот-
ветствует максимуму энтро-
пии. Это и есть распределение
Ферми для электронов, Бозе - Эйнштейна для фотонов
и фононов, Максвелла - Больцмана для молекул газа
и т. д.
При этом экспоненциальная зависимость вероятности заполнения
данного состояния от его энергии является следствием того, что данная
частица, приобретая какую-то энергию е, отнимает ее у остальных (N - 1)
частиц, составляющих систему, и тем самым уменьшает объем, который
могут занять эти частицы в многомерном фазовом пространстве,
пропорционально множителю
(($ - е)/^)л_1, где % - энергия всей системы. Это выражение при
N -оо и дает экспоненциальную зависимость от е и от температуры Т ~
%/N.
В термодинамике необратимых процессов доказывается, что
если система выведена из состояния равновесия, то в ней
устанавливается такое распределение, которое обеспечивает
максимальную скорость приближения к состоянию равновесия, т.
е. максимальную скорость возрастания (генерации) энтропии. Это
положение и положено
Рис. 6.13. Температурная за-
висимость теплопроводности
решетки для идеального кристалла
конечных размеров.
328
в основу вариационного метода определения неравновесной
функции распределения фононов.
Энтропия системы определяется выражением 5 = QIT.
Следовательно, скорость возрастания энтропии 5 при наличии
градиента температуры и потока энергии
Q = ^ hagwTVNgg (q) dq (6.87)
будет выражаться следующим образом:
S = Q grad -jr = ^ h<aqwTVNqg (q) grad -jr- dq. (6.88)
Неравновесная функция распределения Nq или nq =
- Nq - №q может быть найдена из условия, чтобы 5 было
максимально. Сначала из физических соображений находится вид
пробной функции распределения Nq, а затем путем вариации
выражения (6.88) находят значения параметров [12]. При этом
точность решения зависит от того, насколько удачно выбрана
пробная функция. Недостатком вариационного метода является то,
что степень точности в общем не может быть оценена - всегда
остается открытым вопрос, нельзя ли при другом выборе пробной
функции обеспечить большую скорость роста энтропии.
6.7. ФОТОННАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
В тех случаях, когда коэффициент поглощения в области
теплового излучения достаточно мал (т. е. велика длина свободного
пробега фотонов), может играть существенную роль перенос тепла
электромагнитным излучением.
Формулу для соответствующей теплопроводности Хф можно
вывести, если исходить из корпускулярных представлений и
применить к фотонному газу формулу, выведенную для обычного
