Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
новолновые фононы не могут непосредственно принимать
участие в процессах перебро-
са (так как для них qt " g)
и делают это в два этапа -
передают свой импульс корот-
коволновым, а те через про-
цессы переброса - решетке
(это проиллюстрировано на
рис. 6.12 по Херрингу). На
точечных и линейных дефек-
тах длинные волны также
рассеиваются слабее, чем ко-
роткие.
Таким образом, если рас-
сматривать (6.61) как уравне-
ние для нахождения функ-
ции распределения длинно-
волновых фононов,то мы, учи-
тывая сказанное выше, можем
заменить Nq2 и Nq3 равновес-
ными функциями Nqz и Nq3
(так как для коротковолновых фононов время релаксации
намного меньше, то и их числа заполнения куда ближе
к равновесным). После этого правая часть (6.61) стано-
вится функцией от Nq2, Nq3 (которые есть не что иное,
как распределение Бозе - Эйнштейна для соответствую-
щих групп фононов) и от единственной неизвестной величины
nql = Nql-NqU (6.74)
которую и нужно найти. При этих условиях правая часть (6.61)
может быть приведена к виду
№-) (6.75)
\ Ot /столкн Vq
т. е. это значит, что уже может быть введено время релаксации.
*) В дальнейшем индекс "1" при q мы будем опускать.
Длинно
волновые
фононы
N-процессы "-Ли
-
7/%г
Коротко
-
волнобые
фононы
ниш
U-процессы^
НЩ
III ilM
Рис. 6.12. Иллюстрация механизма рассеяния
длинноволновых и коротковолновых фононов.
324
Заменяя в левой части (6.61) Nq на №д, получаем *>
dN' Na - N' па
= = (6-76)
и, следовательно,
nq = T(q)wqVT^. (6.77)
Подставив полученное выражение (6.77) для пд -
неравновесной части функции распределения фононов, вместо Nд в
(6.66), можно получить выражение для фононной
теплопроводности. Таким образом, при сделанных выше
упрощениях вопрос сводится к определению времени релаксации
для фононов.
Однако эта задача весьма трудна. Преимуществом выражения
(6.77) является то, что оно написано в таком общем виде, что в него
могут быть включены все виды рассеяния:
Тд^Т^+^ + Т^ + Т^ + Тф1, (6.78)
где хь - время релаксации для рассеяния на границах зерен; т2 -
время релаксации для рассеяния за счет так называемого
изотопического эффекта, т. е. разности масс примесных атомов и
основных атомов решетки; тр - время релаксации, обусловленное
изменением атомных объемов и коэффициента упругой связи,
вносимых примесными атомами; тд - время релаксации при
рассеянии на дислокациях и Тф - время релаксации при
рассеянии фононов на фононах.
При этом для каждого процесса рассеяния должно быть в
отдельности вычислено соответствующее время релаксации, что
было проделано рядом авторов с большей или меньшей точностью
(см., например, [21]). Основным результатом этих вычислений
являются дисперсионные зависимости, т. е. зависимости времени
релаксации т от частоты to, которые мы приведем ниже:
1) при "изотопическом" рассеянии (т. е. рассеянии из-за
разности масс примесного и основных атомов Т71 = /со4, где I -
коэффициент, пропорциональный числу примесей Nq и разности
масс в квадрате: I ~ Nj (AM2)2; в ряде
*) Подробно о методах решения кинетического уравнения для фононов
см. [12] и [21].
325
случаев этот коэффициент может быть вычислен в явном виде [см.
21];
2) при рассеянии на границах кристалла xj} = dL, где с
- коэффициент порядка единицы, a L - характерная длина -
приблизительно радиус круга, по сечению равного наименьшему
сечению кристалла (следует отметить, что это единственный тип
рассеяния, при котором время релаксации не зависит от частоты);
3) при рассеянии на деформациях решетки Тр1 ~ q4;
4) при рассеянии на дисклокациях Тд1 ~ q;
5) наибольшие трудности представляет вычисление времени
релаксации для рассеяния фононов на фононах Тф. Первым делом
мы должны отметить тот факт, что непосредственно в выражение
(6.78) для т,1 можно включить только tZ-процессы, приводящие к
установлению равновесного распределения (№д), но нельзя
включить ^-процессы, так как они приводят к распределению Nq, а
не №д.
По аналогии с (6.75) можно написать для N столкновений
и с учетом Af-процессов и всех остальных видов рассеяний,
входящих в Тд1, переписать (6.79) в виде
Параметр X может быть вычислен из того условия, что
нормальные процессы не изменяют полного импульса системы
фононов. Уравнение (6.80) после этого приводится к виду,
аналогичному (6.75), при этом для Тф получается следующее
выражение (см. [30]):
где коэффициенты BN и Ви характеризуют интенсивность
нормальных процессов и процессов переброса. Таким образом,
более или менее точно могут быть вычислены все слагаемые,
входящие в (6.78).
Зная выражение для xq, можно воспользоваться соотношением
(6.60) для определения потока тепла и теплопроводности:
СТОЛКИ
(6.79)
СТОЛКИ
(6.80)
Тф1 - (BN-\- Ви) Т3й)2,
(6.81)
Q = S nqhtoqwq.
(6.82)
326
Так как в теплопроводности принимают участие только
длинноволновые фононы, то сумма (6.82) может быть заменена
