Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
lV-процессами (которые являются единственно разрешенными
процессами для непрерывного континуума)
в периодической среде (кристаллической решетке) могут
происходить процессы, при которых соотношение (6.63)
сохраняется, а соотношение (6.64) заменяется более общим:
Чз = Ч1±Ч2±ё, (6.68)
где g - вектор обратной решетки.
Такие столкновения были названы umclapp-процес-
сами, или процессами переброса. Это означает, что при таких
столкновениях сумма волновых векторов не сохраняется, а
меняется скачком на величину g. Так как при этом согласно (6.68)
полный импульс фононной системы не сохраняется, то такие
столкновения дают конечное тепловое сопротивление кристалла.
Качественно процессы переброса можно интерпретировать как
комбинированную одновременную дифракцию волны (^сщ) на
движущейся со скоростью w2 = со2lq2 решетке с постоянной
решетки,
21-1053
321
равной 1/<7г *\ и на неподвижной кристаллической решетке с
постоянной, равной 1/g **>.
С математической точки зрения появление процессов переброса
можно понять из следующих соображений. В гл. 4 мы пришли к
выводу, что волновой вектор q в кристалле может меняться в
пределах 1/2L < q < 1 /2а, так как q > 2L не удовлетворяет
граничным условиям, a q > 112а всегда можно представить как q
- q'+ п/2а, где п подобрано таким образом, что q' < 1 /2а; при
этом оказывается, что волна q' описывает точно те же колебания
атомов, что и q, а волна q добавляет к этому не имеющие
физического смысла колебания пустоты между атомами.
Представим теперь, что в (6.64) qt > 1/4а и q2 > 1 /4а, тогда <7з >
112а, т. е. q3 попадает в область "запрещенных" значений. Заметив
в соответствии со сказанным выше, что 43 = 43 + гДе g - вектор
обратной решетки, мы получим уравнение (6.68), описывающее
процессы переброса.
Из сказанного не следует делать вывод, что /У-процессы можно
вообще исключить из рассмотрения (так как они не вносят
конечного теплового сопротивления). В действительности их
весьма существенное влияние проявляется в том, что они приводят
к перераспределению импульса между фононами. (С подобными
явлениями мы уже сталкивались при анализе влияния
межэлектроиных столкновений, см. гл. 4 и 5.)
Как мы уже много раз упоминали, обычные столкновения (т. е.
столкновения с потерей импульса) стремятся установить
равновесное распределение по скоростям и энергиям; для
электронов - это распределение Ферми
Ь = .
eftr+l
для фононов -это распределение Бозе -Эйнштейна
^ = -g-• <б-69>
е - 1
*) Эта решетка создается колебаниями плотности, обусловленными
второй волной.
**) Так как кристаллическая решетка неподвижна, то ее участие в
соударении не вносит никаких дополнительных членов в уравнение (6.63).
W-процессы не могут установить нормального распределения,
так как общий импульс, а следовательно, и средняя скорость
дрейфа всей системы фононов при них сохраняется; можно
показать, что они приводят к нормальному распределению в
потоке:
Nq(X) = [expH (atg + kqykT-l]-1, (6.70)
где X - параметр, характеризующий скорость потока. Наличие в
(6.70) члена Xq приводит к тому, что количество фононов с
одинаковым по абсолютным значениям q, а следовательно, и cd9 =
w$q, но с противоположным направлением движения, (- q) и (+q),
становится неодинаковым. Как видно из (6.70), при положительном
X
N+q(X)<:N-q(X). (6.71)
Можно показать, что (6.70) представляет собой распределение,
движущееся в направлении -q со скоростью 2Х. Заменив в (6.70)
coq - wq, можно переписать его в виде
N±q (X) = [exp П [q] (w ± X)/kT- I]'1, (6.72)
где уже явно видно, что (6.72) характеризует распределе
ние, движущееся со скоростью 2Х.
Учитывая лишь косвенное влияние W-процессов на тепловые
сопротивления, рассмотрим интеграл столкновений, учитывая
пока лишь процессы переброса.
Будем искать Nq в виде
Nqi = N°ql + nqi, (6.73)
где -равновесная функция распределения и nqi - небольшая
неравновесная добавка.
Как следует из (6.63) и (6.64), столкновения фононов (в отличие
от электронных столкновений) отнюдь не упруги: ю91 Ф (л"3 Ф соЧ2;
это значит, что скорость восстановления равновесия для фононов с
волновым вектором q( зависит от чисел заполнения во всем
фазовом пространстве. Следовательно, если мы попытаемся ввести
время релаксации т (<7(), то оно окажется весьма сложной
функцией от времени и от всех чисел заполнения (q2 и q3), т. е. по
существу потеряет всякий смысл.
Однако положение облегчают следующие обстоятельства. Как
мы уже упоминали, за теплопроводность в основном
"ответственны" длинноволновые фононы, для которых
21* 323
время релаксации и длина свободного пробега много
больше, чем для всех остальных. В то же время длинно-
волновые фононы теряют импульс в основном при столк-
новениях с коротковолновыми фононами. Это следует
из того, что, во-первых, коротковолновых фононов во
много раз больше и, во-вторых, как видно из (6.68), длин-
