Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
Значительно сложнее обстоит дело с членом столкновений.
Рассмотрим, какими причинами может вызываться рассеяние
фононов. В идеальном кристалле с упругими межатомными силами
гармонические волны распространяются независимо друг от друга,
не взаимодействуют и не затухают, точно так же, как
электромагнитные колебания в пустоте. Это видно из того, что
общее решение уравнения (2.146) представляет собой сумму
независимых незатухающих колебаний. Иными словами, для
идеального кристалла гармонические волны являются
стационарными состояниями; их вероятность рассеяния -
вероятность перехода одного в другое, равна нулю.
Эта вероятность становится отличной от нуля в результате
возмущений - нарушения периодичности потенциала. Такими
возмущениями могут быть:
1) чужеродные атомы, атомы в междуузлиях и пустые узлы
(так называемые "точечные дефекты" **>.
2) линейные дефекты - дислокации;
3) плоские дефекты - границы кристалла и зерен в по-
ликристаллическом образце;
4) объемные дефекты - трещины, полости, поры, вкра-
пления другой фазы;
5) ангармоничность колебаний, обусловливающая их
взаимодействие, или, на корпускулярном языке, рассеяние
фононов на фононах.
Если первые четыре причины рассеяния могут (по крайней
мере в принципе) отсутствовать, то последняя всегда есть и в этом
смысле является наиболее общей и наиболее важной, поэтому мы
начнем с ее рассмотрения. Взаимодействие нормальных колебаний
можно рассматривать и на волновом и на корпускулярном языке.
На волновом языке
*) Будем считать, что градиент температуры направлен по оси х, и
рассматривать одномерную задачу.
**) Все перечисленные выше дефекты можно называть точечными лишь
в том случае, когда размер вносимого ими искажения много меньше длины
волны. В действительности это не всегда имеет место (не для всех
перечисленных дефектов и не для всех длин волн).
319
эго означает следующее. Если по кристаллу распространяется
волна Ф4 = ^4ie2ni(g1x-(oiO) хо из-за ангармоничности она вызывает
периодические колебания (модуляцию) упругих постоянных f и
плотности р, т. е. создает таким образом объемную решетку,
движущуюся с фазовой скоростью = со/<7 п окристаллу *>. Другие
волны будут дифрагировать на этой решетке, причем нетрудно
показать, что если волна Ф2 взаимодействует с волной, то при этом
появится новая волна, амплитуда которой зависит от
взаимодействия волн Ф4 и Ф2, т. е. от степени ангармоничности
колебаний, а частота и волновой вектор удовлетворяют условиям
0) 3 = 0)! ± со2, (6.63)
Чз = Ч1±Ч2- (6.64)
На корпускулярном языке это означает, что в результате
столкновений два фонона (о)±, qt) и (о)2, q2) превратились в фонон
третьего сорта (о)3, q3). С этой корпускулярной точки зрения
соотношения (6.63) и (6.64) означают соблюдение при таких (так
называемых трехфононных) столкновениях законов сохранения
энергии и импульса. Приведенные выше рассуждения относятся к
знаку плюс в формулах (6.63) и (6.64). Знак минус перед со2 и q2
означает, что фонон (<"!, qi) "распался" на два (со2, q2) и (со3, q3).
На первый взгляд может показаться, что наряду с трех-
фононными могут существовать более простые, двухфо- нонные
процессы рассеяния. Но в действительности, если написать законы
сохранения для этого случая, то мы получим
со1 = со2 и qt = q2 (6.65)
и убедимся, что они означают неизменность частоты и волнового
вектора, т. е. отсутствие рассеяния. В действительности могут
существовать более сложные, четырех- фононные процессы, но
вероятность их относительно мала.
Возможность существования двухфононных процессов
появляется при наличии третьего тела - какого-либо дефекта
решетки, которому фонон может отдать часть
*) При гармонических колебаниях р// = const, поэтому такие колебания
не вызывают изменения скорости распространения упругих волн и
коэффициента преломления, а следовательно, и не рассеивают друг друга.
320
энергии (при неупругом рассеянии) или импульса (при упругом).
Таким образом, соотношения (6.63) и (6.64) описывают
простейшие и наиболее вероятные процессы рассеяния фононов на
фононах.
Однако, как показал еще в 1934 г. Паейрлс, такие процессы не
могут быть "ответственными" за конечную теплопроводность, т. е.
если бы не существовало никаких других столкновений, кроме
этих, теплопроводность кристалла была бы бесконечна.
Действительно, напишем еще раз выражение для теплового потока:
Q = 'LhaqwrvNq. (6.66)
Заменяя в (6.66) <?>q = w$q и пренебрегая дисперсией, т. е. считая
wrp = = const, получим
Q = w2I,hqNq = w*P, (6.67)
где Р - полный импульс фононной системы. Но соотношение (6.64)
показывает, что при рассмотренных выше столкновениях
суммарный импульс фбнонов не меняется и такие столкновения не
будут ограничивать теплопроводность кристалла. Такие процессы
[т. е. описываемые соотношениями (6.63) и (6.64) 1 Паейрлс назвал
нормальными jV-процессами. Но он также показал, что наряду с
