Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
16лmlQ (T)k
ЗДз
(kT)
Г+2
(г+ 2)2 Fr + id1*)
(r + 1) Fr(p*)
[(r + 3) fr+2(p*)-
]•
(6.57)
Согласно (5.68a) и (6.57) к/а = A (k/e)2 T, где A - безразмерный
коэффициент, равный
A =
V+3 Fr+aM (r + 2)2 ^,.+ 1
(|i*)
r+1 Fr(p*) (r+1)2 FU\X*)
(6.58)
В случае невырожденного электронного газа А = г + 2, в случае
полного вырождения А = я2/3, в промежуточных
Рис. 6.11. Зависимость числа Лоренца (т. е. постоянной в законе
Видемана - Франца) от механизма рассеяния и степени вырождения
электронов проводимости.
случаях А, как это видно из (6.58), является функцией от г и (1*. На
рис. 6.11 для иллюстрации приведена зависимость А от
концентрации носителей для трех случаев: г = 0 (рассеяние на
акустических колебаниях), г = 1 (рассеяние на оптических
колебаниях) и г - 2 (рассеяние на ионах примеси). Как мы уже
упоминали, при наличии неупругого рассеяния (межэлектронные
столкновения и рассеяние на оптических колебаниях) полученные
выше выраженияудля А будут неточны.
316
6.6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ
РЕШЕТКИ
Если исходить из фононных представлений, т. е. рассматривать
распространение упругих волн как хаотическое движение
фононного газа, то можно получить для теплопроводности решетки
выражение, формально совершенно идентичное (6.48):
Хр = уС/дагр =у Ciwlp, (6.59)
где С - теплоемкость решетки; I и т - длина и время свободного
пробега фононов и дагр - их скорость.
Это же выражение для хр получил в 1914 г. Дебай из волновой
картины, рассматривая кристалл как упругий континуум и
учитывая рассеяние тепловых волн на изменениях плотности,
вызванных ангармоничностью колебаний.
Однако выражение (6.59) было бы удобно для анализа, если бы
все величины, входящие в его правую часть, были одинаковы для
всех колебаний. В действительности это, разумеется, не так, и
вычисление средних величин связано в данном случае с такими
трудностями, что формула (6.59) в таком виде, как она написана,
даст немногим больше, чем представление о размерности хр.
Более того, недостаточно осторожное применение этой формулы
может привести к серьезным ошибкам. В гл. 2 мы установили, что
за перенос энергии "ответственна" групповая скорость фононов
wrp, которая колеблется в весьма широких пределах. Групповая
скорость для всех оптических ветвей (представляющих, по сути
дела, внутримолекулярные колебания) относительно мала, поэтому
в (6.59) можно исключить часть теплоемкости, обусловленную
этими колебаниями. Но как мы видели, для коротковолновых
акустических колебаний wrp = 0, и их, следовательно, тоже надо
исключить из (6.59); таким образом, значение w и С в (6.59)
становится весьма неопределенным.
Вычислить среднюю длину свободного пробега еще сложнее, и
расчет и опыт показывают, что при этом усреднении легко
ошибиться в сотни раз, так как длина свободного пробега для
фононов различной частоты и поляризации отличается на много
порядков; так, для продольных длинноволновых колебаний
акустической ветви она дости
317
гает макроскопических размеров *), в то же время для
коротковолновых колебаний I бывает ничтожно мало - порядка
межатомных расстояний. Таким образом само представление о
волнах, а следовательно и фононах, становится сомнительным.
Впрочем, как это часто бывает, исключительные трудности
приводят в конце к упрощению ситуации. В данном случае
чрезвычайно широкий диапазон длин свободного пробега приводит
к тому, что в теплопроводности необходимо учитывать в первую
очередь перенос тепла длинноволновыми продольными
акустическими волнами, что значительно упрощает задачу. После
этих вводных замечаний перейдем непосредственно к вычислению
хр. Будем исходить из общего выражения для теплового потока
Q = 'LNqtlUlqWq (6.60)
(аналогичного выражению Q~envx, где e - fiw, n = 'LNq и vx =---
mq).
Суммирование, вообще говоря, надо проводить по всем ветвям,
по всем длинам волн и по всем (трем) видам поляризации. В таком
виде подсчет (6.60) был бы неразрешимой задачей, однако с учетом
замечаний, сделанных выше, можно ограничиться суммированием
по длинноволновым продольным акустическим фононам. Для этих
колебаний кристалл можно рассматривать как континуум и сумму
заменить интегралом; таким образом, задача сильно упрощается.
Основная трудность остается в вычислении Nq - нерав-
новесной функции распределения, при этом мы не можем заменить
Nq -> Nq0 равновесным распределением Эйнштейна, так как поток
обратится в нуль. Для того чтобы определить Nq, мы должны
решить кинетическое уравнение для фононов:
Вычисление дрейфового члена в данном случае еще более
просто, чем в случае электронов (так как фононы -
*) Непосредственное измерение этой величины на кремнии при
комнатной температуре дало "астрономическое значение"- десятки
микрон.
незаряженные частицы и в данном случае отсутствует член,
содержащий электрическое поле) *>:
/ dNq ч dNq дх dNq дт дх __ dNq
V dt Jдрейф ' дх dt ' дТ дх dt дТ W^T- (6.62)
