Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Из (6.48) и (6.49) очевидно также, что к /о должно зависеть
от степени вырождения.
3. Мы не учли влияния термо-э. д. с. на тепловой поток,
переносимый электронами.
4. Наконец, далеко не очевидно, что в (6.48) и (6.49) входит
одна и та же средняя длина свободного пробега.
Чтобы понять это, рассмотрим более подробно, какой вид имеет
функция распределения при наличии электрического и теплового
поля.
В первом случае электрическое поле Ех смещает функцию
распределения на величину
Avx = wxx = -^-x (6.52)
и несколько деформирует ее (как показано на рис. 6.8), так как т
для электронов с различной энергией различно.
Во втором случае дело обстоит сложнее. На рис. 6.9
схематически представлена функция распределения / для трех
точек образца при наличии градиента температуры,
312
в точку б приходят электроны из точек а ив, поэтому функция
распределения в точке б сугубо несимметрична. Однако при таком
виде функции распределения f в образце существует не только
тепловой поток, но и термоэлектри-
Е*
Рис. 6.8. Изменение функции
распределения под действием
электрического поля (а), не-
равновесная добавка к функции
распределения (б).
fi-f-fo
ческий ток, теплопроводность же обычно измеряется при
разомкнутой цепи; при этих условиях на холодном конце образца
накапливаются горячие электроны и возникает
Рис. 6.9. Изменение функции распределения под действием
градиента температуры.
термоэлектрическое поле, смещающее функцию распределения в
обратном направлении. Таким образом, в окончательном виде она
имеет вид, представленный на рис. 6.10, а и б.
Сопоставление рис. 6.9 и рис. 6.10 показывает, что для
восстановления равновесия в первом и втором случае могут играть
роль совершенно разные столкновения. В первом случае основную
роль играют так называемые гори-
313
зонтальные переходы *\ т. е. упругие столкновения, связанные с
отклонением электронов на большие углы (порядка 180°), эти
переходы показаны на рис. 6.9 горизонтальными стрелками.
Во втором случае, напротив, основную роль должны играть
почти вертикальные переходы (т. е. неупругие
сС
Рис. 6.10. Измененная функ-
ция распределения под дей-
ствием градиента темпера-
туры и поля термо-э. д. с.
(а) и неравновесная добавка
к функции распределения
? (б)'
6)
столкновения); электроны, находящиеся за пределами поверхности
Ферми, попадают после такого перехода внутрь ее и меняют при
этом свою энергию.
Ясно, что при этом сокращать длину свободного пробега в
(6.48) и (6.49), где она определяется различными процессами, в
общем случае нельзя.
Положение облегчает тот факт, что при рассеянии на дефектах,
как мы показали в гл. 5, все столкновения почти упруги, поэтому I
в обоих выражениях оказывается одним и тем же. При рассеянии
электронов на акустических тепловых колебаниях решетки при
высоких температурах столкновения также почти упруги, при
низких температурах и при рассеянии на оптических колебаниях
заметную роль начинают играть неупругие столкновения, которые
ограничивают теплопроводность и слабо влияют
*) Переходы внутри одного шарового слоя в пространстве импульсов.
fi=f-To
314
на электропроводность; в этих последних случаях электронная
теплопроводность оказывается меньше, чем это следует из закона
Видемана и Франца. Этот случай требует особого рассмотрения,
так как выражение для функции распределения (5.67), полученное
в предположении, что все столкновения упругие, в данном случае
неприменимо.
Неупругими являются также межэлектронные столкновения;
как мы уже упоминали, на электропроводность они влияют лишь
косвенно, так как не меняют полного импульса электронной
подсистемы, а лишь перераспределяют его и приводят, таким
образом, к изменению средней энергии. При наличии разности
температур мы имеем встречные потоки электронов, и эти
столкновения влияют непосредственно. Таким образом, и
абсолютное число столкновений, и показатель степени г в к (и а), с
одной стороны, и в а с другой, могут быть различны.
Для того чтобы получить строгое выражение для отношения
теплопроводности и электропроводности, можно воспользоваться
выражением (5.68 а) и вывести аналогичное выражение для
теплопроводности. Для этого воспользуемся выражением для
функции распределения при наличии градиентов потенциала и
температуры
и напишем снова выражения для электрического тока и теплового
потока:
Приравняв ток к нулю, находим поле термо-э. д. с.:
(6.53)
и
/ = ^ efg (е) de
<э=5 е/д(е)de-
(6.54)
(6.55)
k l
е Т
§ (r)2 ~^rT?(e)de
(6.56)
дх
^ E'Wrg (е) de
Подставив (6.56) в (6.53) и затем в (6.55), можно получить
выражение для теплового потока с учетом термо-э. д. с. и
электронную теплопроводность.
Для случая параболической зоны g (г) = 4я/Л3 (2т)>/2 X X е1^
de и степенной зависимости длины свободного пробега электрона
от его энергии 1 = 10(Т)гг, получим:
