Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
тура, степенная зависимость длины свободного пробега от
энергии), но при произвольной степени вырождения имеет
вид
где FT(\i*), FT+i (р*) - интегралы Ферми:
оо
Frм- 5 Ли., ¦ (6'20)
о
В случае невырожденного электронного газа (ц*< - 2)
выражение (6.19) упрощается:
к Г , " , , 2(2лткТ)а/*-
а = -
[r + 2 + ln2^ -] , (6.21)
где m - эффективная масса плотности состояний; m = 2 1
= N3 (mi, m2, m3)3 (N - число эллипсоидов и ть тг,
т3 - главные значения тензора эффективной массы) *>.
В случае нескольких сортов носителей (электронов с различной
эффективной массой или электронов и дырок) выражение для
термо-э. д. с. принимает следующий вид:
a = (6.22)
где а, - "парциальная" термо-э. д. с. для t-ro сорта носителей,
вычисленная согласно (6.19) или (6.21) с учетом знака носителей, и
си - соответствующая электропроводность.
6.3. УВЛЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ФОНОНАМИ
Относительно недавно был открыт еще один источник термо-э.
д. с.- так называемый эффект увлечения электронов фононами.
При низких температурах эта составляющая термо-э. д. с. может
быть в десятки и сотни раз больше рассмотренных выше.
Качественно это явление можно объяснить следующим образом.
Если в твердом теле существует градиент температуры, то число
фононов, движущихся от
*) Формула (6.21) была выведена впервые советским физиком Н. Л.
Писаренко (1940 г.).
299
горячего конца к холодному, будет больше, чем в обратном
направлении. При своем направленном движении фононы в
результате столкновений с электронами будут увлекать за собой
последние, и на холодном конце образца будет накапливаться
отрицательный заряд (а на горячем - положительный) до тех пор,
пока возникшая разность потенциалов не уравновесит эффект
увлечения. Эта разность потенциалов и представляет собой
дополнительную термо- э. д. с. Наоборот, если в теле существует
электрический (а не тепловой) ток, то электроны увлекают за
собой фононы, чем вызывается дополнительный перенос тепла
(эффект Пельтье). Впервые возможность существования такого
эффекта в металлах в 1945 г. предсказал
Л. Э. Гуревич.
Он же указал на возможность существования такого
эффекта в полупроводниках. В 1951 г. Г. Е. Пикус рассмотрел это
явление в полупроводниках количественно и вывел формулу для
дополнительной (возникающей вследствие увлечения электронов
фононами) термо-э. д. с.:
1 k "S 1 Ч /я 0QX
а*- 3 е k т ~г7 * (6-23)
где wф - скорость звука; Тф и тэ - время релаксации фононов и
электронов соответственно.
Величина mw%/k имеет размерность температуры, а именно,
это та температура, при которой тепловая скорость электронов
равна скорости фононов. Нетрудно убедиться в том, что эта
величина приблизительно равна 1° К, k/e = = 90 мкв/град,
следовательно,
30 //> Q/i\
<Хф "¦=--. (6.24)
Тэ
Значение Тф можно получить из выражения для теп-
лопроводности кристаллической решетки, если воспользоваться
формулой Дебая для хр (1.64)
кр = С/фО!ф = -g- Сш|тф. (6.25)
Значение тэ можно оценить, зная подвижность электронов и =
(е/т)тэ. _
Проведя этот анализ и убедившись в том, что Тф обычно не
больше чем на порядок отличается от тэ, Пикус пришел к выводу,
что <Хф не может играть существенной роли.
300
Однако в 1953 г. Фредерикс и Гебалле, измеряя термо-
электродвижущую силу германия, обнаружили, что при низких
температурах она возрастает до значений, во много раз
превосходящих предсказанные обычной теорией. В 1955 г. Хуллом
и Гебалле было найдено, что в р-кремнии термо-э. д. с. достигает
еще больших значений, порядка 50 мв/град. Теоретическое
объяснение этих аномально больших значений было дано в 1958 г.
Херрингом и Фредериксом на основе эффекта увлечения
электронов фононами и формулы (6.23), впервые выведенной
Пикусом.
Дело в том, что в (6.23) должно входить среднее время
релаксации не для всех фононов, а для тех, которые могут
взаимодействовать с электронами. Как было показано в гл. 5, из
законов сохранения энергии и импульса при столкновении
электронов с фононами следует, что волновой вектор фонона q
должен удовлетворять неравенству
Я < 2k,
где к - волновой вектор электрона.
Следовательно, длина волны таких фононов %w\lq должна
быть одного порядка или больше, чем длина волны электронов.
Последняя при комнатной температуре достигает порядка 10-7 см, а
при низких - соответственно возрастает. Отсюда следует, что в
(6.23) должно входить время релаксации для фононов, длина волны
которых во много раз превышает постоянную решетки. Херринг
показал, что время релаксации для таких фононов Тф на несколько
порядков больше, чем среднее время релаксации Тф, получаемое из
анализа формулы (6.25) для теплопроводности, и, следовательно,
будет значительно больше, чем ожидал Пикус.
Покажем, как на основании простых наглядных соображений
можно вывести формулу (6.23). Если температура всего тела
постоянна, то фононы движутся во всевозможных направлениях;
