Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 12.7. По мере того как содержимое сосуда нагревается, его масса увеличивается пропорционально поступающей энергии в соответствии с формулой сЫМ = 1IjiN dT (коэффициент 7/2 появился потому, что воздух —смесь двухатомных газов; N — полное число молекул в сосуде). С другой стороны, центр тяжести массы газа повышается, что приводит к уменьшению веса, так как при этом увеличивается расстояние до центра Земли. Действительно, положение центра тяжести определяется формулой
h h
2ц.т.= j pzdz/ j pdz, р = р0ехр(-|fZ
следовательно, изменение гц-т- с температурой дается соотношением
^ц.т. fe Г. / ч \2~1 _ mgh dT * mgL Ishг)/J' 2kT '
где т — средняя масса молекулы воздуха.ГЛАВА 10
325
Результирующее изменение веса равно, таким образом,
.. /7 gkN
RmmS L Sh2 Г) Jy
2 с2
Правая часть равенства становится отрицательной, когда
• і__iL = о 122. ю-8
1 sh2T) 4 C2 -V,!^. IU . Это выполняется для г) >6,05- Ю-5, т. е. при h = 2kTx]/mg>2l8 см. Решение 12.8. В силу уравнения Пуассона Utkk = 4лр0 имеем
7у*. * = і (і/.у*1/. * + U.,u kk - U n/U, п) = 9JJ,,.
Следовательно, мы можем записать ньютоновское уравнение движения в виде
dv, dt/k dU d
Po * = -?»<г/*+ </*>•*• (1)
Используем теперь ньютоновское уравнение непрерывности
dpo/dt + (P0Vk)fk = 0. (2)
Из уравнения (2) и выражения для «конвективной» производной
d/dt = d/dt + vkd/dx"
можно получить
dv/ (dvi \
Po -Jf = Po (-?- + VkVlk) = (РоЫ / + (Po VjVk), ft,
и тогда уравнение (1) можно записать в виде
(PoU/). / + (Т/к + t/h + Po VjVk), k = 0.
Решение 12.9. Рассмотрим виртуальное вмещение б; энергия должна быть стационарна по б. Если мы включим в полную энергию гравитационную потенциальную энергию, соответствующую работе, проделанной приложенными силами или против сил, тогда приращение энергии для каждой отдельной силы будет иметь вид
dEt---Frb-(dEt)(i/c*)-xt,
а приращение энергии за счет перемещения массы объекта равно
dB = —MfS,326
РЕШЕНИЯ
Тогда
для любого S и, следовательно,
Обратите внимание, что, относя гравитационный потенциал к центру тяжести, мы избегаем необходимости включать в рассмотрение гравитационную потенциальную энергию. (Этим замечанием мы обязаны К. Нордтведту.)
Решение 12.10. В предыдущей задаче мы нашли, что H^O -8-Xilot) = -Mg. Если р — давление, а dA — ориентированный элемент поверхности, то F = pdA, и приведенный выше результат приобретает вид
~\р (*)0 -g-x/c2) dA= -МІ,
или
- ^pdA+ J pg-~dA=-Mg для постоянного g. Теперь, подставляя значения
g = x = drer, dA= ±dAer,
получаем
- А [р (г + dr) - р (г)] er - dr Ir J P dA = - Mg = A dr р ^Jr X,
откуда следует
dp _ _ GM / р\ dr г2 ip-t" с2/"
Этот результат справедлив в любой теории гравитации, в которой выполняется соотношение TlivJv = 0 (такие теории называются метрическими), и не зависит от вида уравнений поля. Однако для нахождения массы M (г), определяемой так, чтобы локальное ускорение силы тяжести было равно g = — GMjr2, в каждой теории существуют свои собственные методы и процедуры.
Решение 12.11. Выделенной системой координат в ньютоновской теории являются галилеевы пространственные координаты xf и «универсальное время» t. Уравнение движения
dHi дФ dt* = ~ дх'ГЛАВА 10
327
можно переписать в 4-мерном виде:
«„0
A2 '
(141 <й?
dxi J U-
Отсюда непосредственно получаем символы Кристоффеля:
дхї' ВСЄ остальные 1 Pv Равны нулю.
Стандартная формула для компонент тензора Римана дает
R1OitO = - P1OOk = ; все остальные RaRy6 равны нулю. дх' дхк
Если предположить, что эти компоненты можно было бы вычислить из какой-то метрики, то тогда мы имели бы
О _ Oa _
"/OkO — g/aK oko — g/m Qxm ?xk '
Но в этом случае
Rojko = goa,Ra/kO =O ф — RjOkO,
что нарушает свойство антисимметричности тензора /?apYe. которым он обладал бы, если бы получался из метрики.
Решение 12.12. Пусть ньютоновские траектории пробных частиц описываются уравнениями
xJ = x!(t, п),
где и —параметр, позволяющий отличить одну траекторию семейства от другой. Тогда вектор
k JL
П ~ дп ~~ dn ~дх* — п дх»
есть вектор, связывающий соседние траектории. Относительное ускорение соседних траекторий равно
&ni __ д (0*х*\д /__дФ\ nk д /дФ\ ^ft д*Ф
dt2 dt2 \дп 1 дп\ dt2 j dn \ dxi) dxk \dx' j dx" dx' '
где мы использовали уравнение движения d2x'/dt2 =— дФ/дх'. Уравнение расхождения геодезических имеет вид
DiTia
dx2
•/?a?ve«v"?"e.
В ньютоновском пределе (скорости ~ е, гравитационные поля ~ еа) имеем
и0= 1+0(8)1 Uf = 0 (є); Tay = 0 (г2),328
РЕШЕНИЯ
а параметр п, связывающий события с одинаковым собственным временем, будет связывать с точностью до 0(e) события с одинаковым координатным временем. Таким образом,
D d , ч
_ = - + <2?(е)
и параметр
Тогда в ньютоновском пределе компоненты тензора Римана выражаются через потенциал следующим образом:
Обратите внимание, что, пока рассматриваемые скорости не приближаются к скорости света, другие компоненты RccQy6 не входят в уравнение относительного движения пробных частиц.