Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 93

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 152 >> Следующая


Решение 12.7. По мере того как содержимое сосуда нагревается, его масса увеличивается пропорционально поступающей энергии в соответствии с формулой сЫМ = 1IjiN dT (коэффициент 7/2 появился потому, что воздух —смесь двухатомных газов; N — полное число молекул в сосуде). С другой стороны, центр тяжести массы газа повышается, что приводит к уменьшению веса, так как при этом увеличивается расстояние до центра Земли. Действительно, положение центра тяжести определяется формулой

h h

2ц.т.= j pzdz/ j pdz, р = р0ехр(-|fZ

следовательно, изменение гц-т- с температурой дается соотношением

^ц.т. fe Г. / ч \2~1 _ mgh dT * mgL Ishг)/J' 2kT '



где т — средняя масса молекулы воздуха. ГЛАВА 10

325

Результирующее изменение веса равно, таким образом,

.. /7 gkN

RmmS L Sh2 Г) Jy

2 с2

Правая часть равенства становится отрицательной, когда

• і__iL = о 122. ю-8

1 sh2T) 4 C2 -V,!^. IU . Это выполняется для г) >6,05- Ю-5, т. е. при h = 2kTx]/mg>2l8 см. Решение 12.8. В силу уравнения Пуассона Utkk = 4лр0 имеем

7у*. * = і (і/.у*1/. * + U.,u kk - U n/U, п) = 9JJ,,.

Следовательно, мы можем записать ньютоновское уравнение движения в виде

dv, dt/k dU d

Po * = -?»<г/*+ </*>•*• (1)

Используем теперь ньютоновское уравнение непрерывности

dpo/dt + (P0Vk)fk = 0. (2)

Из уравнения (2) и выражения для «конвективной» производной

d/dt = d/dt + vkd/dx"

можно получить

dv/ (dvi \

Po -Jf = Po (-?- + VkVlk) = (РоЫ / + (Po VjVk), ft,

и тогда уравнение (1) можно записать в виде

(PoU/). / + (Т/к + t/h + Po VjVk), k = 0.

Решение 12.9. Рассмотрим виртуальное вмещение б; энергия должна быть стационарна по б. Если мы включим в полную энергию гравитационную потенциальную энергию, соответствующую работе, проделанной приложенными силами или против сил, тогда приращение энергии для каждой отдельной силы будет иметь вид

dEt---Frb-(dEt)(i/c*)-xt,

а приращение энергии за счет перемещения массы объекта равно

dB = —MfS, 326

РЕШЕНИЯ

Тогда

для любого S и, следовательно,

Обратите внимание, что, относя гравитационный потенциал к центру тяжести, мы избегаем необходимости включать в рассмотрение гравитационную потенциальную энергию. (Этим замечанием мы обязаны К. Нордтведту.)

Решение 12.10. В предыдущей задаче мы нашли, что H^O -8-Xilot) = -Mg. Если р — давление, а dA — ориентированный элемент поверхности, то F = pdA, и приведенный выше результат приобретает вид

~\р (*)0 -g-x/c2) dA= -МІ,

или

- ^pdA+ J pg-~dA=-Mg для постоянного g. Теперь, подставляя значения

g = x = drer, dA= ±dAer,

получаем

- А [р (г + dr) - р (г)] er - dr Ir J P dA = - Mg = A dr р ^Jr X,

откуда следует

dp _ _ GM / р\ dr г2 ip-t" с2/"

Этот результат справедлив в любой теории гравитации, в которой выполняется соотношение TlivJv = 0 (такие теории называются метрическими), и не зависит от вида уравнений поля. Однако для нахождения массы M (г), определяемой так, чтобы локальное ускорение силы тяжести было равно g = — GMjr2, в каждой теории существуют свои собственные методы и процедуры.

Решение 12.11. Выделенной системой координат в ньютоновской теории являются галилеевы пространственные координаты xf и «универсальное время» t. Уравнение движения

dHi дФ dt* = ~ дх' ГЛАВА 10

327

можно переписать в 4-мерном виде:

«„0

A2 '

(141 <й?

dxi J U-

Отсюда непосредственно получаем символы Кристоффеля:

дхї' ВСЄ остальные 1 Pv Равны нулю.

Стандартная формула для компонент тензора Римана дает

R1OitO = - P1OOk = ; все остальные RaRy6 равны нулю. дх' дхк

Если предположить, что эти компоненты можно было бы вычислить из какой-то метрики, то тогда мы имели бы

О _ Oa _

"/OkO — g/aK oko — g/m Qxm ?xk '

Но в этом случае

Rojko = goa,Ra/kO =O ф — RjOkO,

что нарушает свойство антисимметричности тензора /?apYe. которым он обладал бы, если бы получался из метрики.

Решение 12.12. Пусть ньютоновские траектории пробных частиц описываются уравнениями

xJ = x!(t, п),

где и —параметр, позволяющий отличить одну траекторию семейства от другой. Тогда вектор

k JL

П ~ дп ~~ dn ~дх* — п дх»

есть вектор, связывающий соседние траектории. Относительное ускорение соседних траекторий равно

&ni __ д (0*х*\д /__дФ\ nk д /дФ\ ^ft д*Ф

dt2 dt2 \дп 1 дп\ dt2 j dn \ dxi) dxk \dx' j dx" dx' '

где мы использовали уравнение движения d2x'/dt2 =— дФ/дх'. Уравнение расхождения геодезических имеет вид

DiTia

dx2

•/?a?ve«v"?"e.

В ньютоновском пределе (скорости ~ е, гравитационные поля ~ еа) имеем

и0= 1+0(8)1 Uf = 0 (є); Tay = 0 (г2), 328

РЕШЕНИЯ

а параметр п, связывающий события с одинаковым собственным временем, будет связывать с точностью до 0(e) события с одинаковым координатным временем. Таким образом,

D d , ч

_ = - + <2?(е)

и параметр

Тогда в ньютоновском пределе компоненты тензора Римана выражаются через потенциал следующим образом:

Обратите внимание, что, пока рассматриваемые скорости не приближаются к скорости света, другие компоненты RccQy6 не входят в уравнение относительного движения пробных частиц.
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed