Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Угловая частота Амплитуда (в главном порядке по е)
(I) 2ф О 2 N -J- COS 8 4
(II) Ф 3 . W "2" Sin 8 COS 8
(III) 2й ± 2ф COS2^e
(IV) 2й ± ф 3 . W -T- SUl 8 • COS 8 4
(V) 2Q -E-Sin2B И ~ COS2n 8 2 4
(VI) Q ±2ф 3ecos2A/e
(VII) Q ± ф бе sin 8 • COSN8
(VIII) Q бе ^sin2B ИЛИ у COS2w 8
(IX) 3Q dt 2ф 3 2/V -g-ecos ™е
(X) 3Q Hfc ф Зе Sin 8 • С OSw 8
(XI) 3Q Зе Sin2 8
Для системы Земля —Солнце е = 23°,5, е = 0,017, Q = 2я/1 год и ф = 2я/(1 звездные сутки); для системы Земля —Луна е = 0,054,
11 Заказ UO 322
РЕШЕНИЯ
Q = 2jt/(1 звездный месяц); ф='2я/(1 звездные сутки), а значение е меняется в пределах 23°,5±5° в результате нутации узлов лунной орбиты с периодом 18,6 лет. (Последний факт приводит к дальнейшему расщеплению спектра, которым мы здесь пренебрегаем.) Используя эти значения и учитывая, что величина (Mlas) для лунной орбиты в 2,2 раза больше, чем для солнечной, можно оценить относительную величину перечисленных выше компонент и расположить их в порядке убывания интенсивности:
Al(I)f Al(V), Al(II), Al(III), S(I), S(V), Al(IV), S(II), S(IlI), Al(VI), M(VIII)...,
где MhS- члены, обусловленные соответственно влиянием Луны и Солнца.
Решение 12.4. Лаплас был первым, кто осознал тот факт, что эти два положения должны отличаться друг от друга. Оптически наблюдаемое положение Солнца на небосводе смещено за счет конечности скорости света; другими словами, приходящий от Солнца свет испытывает аберрацию на угол fQ = Vlc, где v — скорость движения Земли по орбите. Далее, поскольку кулонов-ское гравитационное поле аберрации не испытывает, то, если бы сила тяготения была направлена в сторону смещенного положения Солнца, существовала бы компонента солнечного ускорения, равная (GM$/r2)(v/c) и направленная вдоль движения Земли. В этом случае энергия Земли должна была бы возрастать со скоростью
d (Е/М@) GMq у* dt г* с'
Однако, поскольку Е/М@ =—-GMqIг, мы фактически имели бы
дело с потерей энергии, соответствующей увеличению радиуса земной орбиты со скоростью dr/dt = 2v2/c. Если учесть, что Vі = = GMq/г, это уравнение легко интегрируется:
Для земной орбиты г = 1,5- IO13 см, t> = 30 км/с, так что ft*=« IO"4. Если теперь положить г0 равным, например, радиусу Солнца r0 = = 7-1010 см, то t —t0я» 1,3- IO10 с^400 лет. Это значительно меньше, чем длительность геологического периода, в течение которого, как известно, радиус земной орбиты не менялся.
Решение 12,5S Световое давление внутри звезды дается формулой
Pизл ~ (Vs) ^ изл. ГЛАВА 10
323
где Un311 — плотность энергии излучения. Поскольку свет «диффундирует» наружу, многократно участвуя в процессах рассеяния, иизл удовлетворяет уравнению диффузии, а поток излучения пропорционален градиенту U1131:
Р= ~с.уц г Зхр
где и — коэффициент непрозрачности (мы используем здесь его значение по Томпсону xT = crT/mp = 0,4 см2/г). Соотношение L = = Anr2F, связывающее поток излучения с полной светимостью L звезды, дает
AD - *Р Ыг
изл 4яс г2 '
т. е. выражение для суммарного светового давления на элемен тарный слой вещества толщиной dr и единичной площадью по верхности. Приравнивая dPmil гравитационной силе, действую щей на этот элементарный объем в направлении внутрь звезды — GMpdrtr2, мы получаем значение эддингтоновского предела
L = if^= 1.38-10-(^) эрг/.
Мы можем также получить этот результат микроскопически, заметив, что поскольку сечение рассеяния пропорционально (1 + Cos2O) и, следовательно, симметрично относительно направления рассеяния («вперед —назад»), то фотон с импульсом р передает электрону в среднем при каждом соударении импульс р. Если радиальная компонента импульса равна рг, то, хотя энергия фотона равна рс, его вклад в светимость (направленный наружу световой поток) уменьшается в c/vr = p/pr раз. Таким образом, радиальная компонента импульса, переданная одному электрону, находящемуся на расстоянии г от центра звезды, в единицу времени, как раз пропорциональна суммарной светимости в радиальном направлении X (постоянной для всех значений радиуса):
(импульс)__L__/ йш \ _ Lo-t
(время) - 4яг2 (йсо) "ниє \ с >
эффективное импульс,
число фотонов, приходя-
проходящих в щийся на
радиальном на- 1 фотон
правлении через единицу площади в единицу времени
Импульс в единицу времени есть не что иное, как сила, и мы приравняем ее направленной внутрь силе тяготения, действующей 11* 324
РЕШЕНИЯ
на протон, связанный с рассматриваемым электроном:
La1 GMmp Anr2C = W'
это приводит нас к тому же результату, что и полученный выше.
Решение 12.6. Пусть фг и фг — гравитационный и электростатический потенциалы соответственно. Тогда потенциальная энергия электрона равна
Ф = тфг+ефе,
где т и е — масса и заряд электрона, а сила, действующая на электрон, есть
F = — VCD.
В статическом случае не может существовать тангенциальная составляющая этой силы, направленная вдоль проводящей поверхности, и, следовательно, энергия Ф на внутренней поверхности должна быть постоянной. Пусть теперь внутри сосуда отсутствуют как массы (V^ = O), так и заряды (VV = O), так что V2CD = O. Решение уравнения Лапласа Y2CD = O всюду внутри проводящего сосуда, представляющего собой эквипотенциальную поверхность, есть в этом случае Ф = const. Таким образом, если в это поле будет помещен электрон, на него не будут действовать никакие силы. [Примечание. Поскольку электрон помещается в центр сосуда, силами со стороны зеркальных зарядов можно пренебречь из соображений симметрии.]
