Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
© = (Gm/r3)2.
Средняя плотность вещества внутри сферы радиуса г есть р =
= Зт/4ял3, так что © = (4nGp/3)2. Этот результат означает, в частности, что песчинка будет обращаться вокруг стального шарика вблизи его поверхности примерно с тем же 90-минутным периодом, что и спутник, запущенный на орбиту близ поверхности Земли.
Решение 12.2. Пусть высота прилива равна h. Желая получить лишь грубую оценку, примем для простоты, что Солнце и Луна расположены в экваториальной плоскости (фиг. 26). Тогда,
дг
Земля
Фиг. 26.
Приливный горб
Луна
Солнце
если элементарный объем воды в океане на широте экватора находится во время прилива в равновесии, то испытываемое им ускорение земной СИЛЫ тяжести g (г) = — Мф/Гг на «высоте» г = = г© -f h (здесь /И® и г® — масса и радиус Земли соответственно) уравновешивается приливными ускорениями со стороны Солнца и Луны, отнесенными к центру Земли:
О = g (г© + h) + r@R^r + (1)
В это время в пункте, отстоящем по долготе на 90°, наблюдается отлив; соответственно для элементарного объема воды будем иметь
0 = g (г® - А) + + r®RUr- (2) ГЛАВА 10
319
Вычитая одно уравнение из другого, получаем
О = 2hg' (г®) -f- Гф (/?2020Нце — RmT~& + ^Mioа — (3)
Отметим, что если бы мы ввели центробежные силы, то в уравнении (3) они бы взаимно сократились. Вычисли;.! теперь компоненты тензора Римана в ньютоновском пределе (см. зд:іа-іу і 2.12). Имеем
у-с.пце__
1 ь - dW
-дфСолкие O-X3
а= г M1
х = у=ь О
5
L [(* - xCo л її це)2 + {У- ^Солнце )2 + (г -гСолнце)2]'
и аналогичные выражения для других компонент. Для наших случаев находим
Яшо Це (*Солнце = ^Солнце = 0, ^/Солнце = R) = M^jR3,
R^r (^/Солнце = 2Солнце = 0, ДССолние = R) = - 2M$/R3,
Riim (-"^Солнце = ^Солнце = 0, ^/Солнце — R) — — 2M.JR3,
RiIOiO (уСолнце = 2Солнце — 0, ^Солнце = R) = M .;/R3.
Аналогичные соотношения получаются для гравитационного поля Луны. Сизигийные приливы наблюдаются, когда Луна и Солнце расположены на одной линии, скажем на оси у. Тогда уравнение (3) дает
3 / ^ Лупа М •) \ гф
Квадратурные приливы соответствуют случаю, когда Луна расположена, например, на оси у, а Солнце — на оси х. В этом случае
Лквадр- 4 Ujlylla /?/?
Разумеется, физические значения высоты приливов во многих случаях значительно превосходят наши оценки. Это обусловлено гидродинамическими эффектами —такими, например, как «хлюпанье» воды в мелководных морях п вблизи береговых линий сложной конфигурации.
Решение 12.3. С неплохой точностью можно считать, что твердое тело Земли под воздействием приливообразующей силы, входящей в тензор Римана, деформируется линейно. [Это, однако, неверно для гидродинамических (морских) приливов.] Следовательно, фурье-спектр для земных приливов будет выглядеть так же, как и спектр компонент тензора Римана на поверхности 320
РЕШЕНИЯ
Земли. Поскольку (по крайней мере в ньютоновском приближении) приливообразующие силы линейно зависят от источников, мы можем рассматривать влияние Луны и Солнца независимо. Гравитационный потенциал, создаваемый массой М, помещенной в точке с геоцентрическими координатами х, у, г, имеет вид
U = M/(x* + y* + zT'-
Тогда в ньютоновском пределе компоненты тензора Римана равны
Ях0уй = дЮ,дхду = Ц^) (1)
и т. п. для уу, 22, yz, xz. В системе отсчета, связанной с вращающейся Землей, видимая орбита Солнца или Луны описывается стандартными соотношениями кеплеровской сферической астрономии (см., например, [1], т. 2, стр. 313):
X = Z-COS (й + и)cos ф/ — г sin (© + f)cose - sinф/, у = г sin (И + и) COS Є • COS фt+r cos (й + и) sin фt, (2)
z = rsin (© + u)sin е.
Здесь о и е — постоянные, равные соответственно долготе перигея и наклонению орбиты к экваториальной плоскости. Угол фt есть часовой угол для вращающейся Земли:
. 2л .
фг = -1,
т 1 звездные сутки '
/- — «радиус-вектор» и v — «истинная аномалия», дающиеся соотношениями
г = а(1 —ecos?), cosu = (cos? —е)(1 —ecos EY1,
где а —большая полуось орбиты, е — эксцентриситет, a E — эксцентрическая аномалия, определяемая из уравнения
E — е sin E = ~ t = Qf,
где Т — период обращения по орбите. Оставляя только члены первого порядка малости по эксцентриситету е, после вычисления получаем
E = Qf+ е sin Qf, COsf = COsQf-Csin2Q/, г-8 = а-8 (1 + Зе cos Qf), cos V = cos Qt + е cos 2Qt — e. ГЛАВА 10
321
Теперь, подставляя уравнение (3) в уравнение (2), а получившийся результат в уравнение (1), будем иметь
Pjoko =^x (постоянные члены + члены, зависящие от времени і).
При этом зависящие от времени члены имеют следующий характерный вид:
' sinae или
X
Sin Є COSw е (smJ ф/, или
;0s2We(cTs)V
^здесь означает либо sin, либо cos, а показатель степени
mN — любое целое число в промежутке от нуля до т включительно). Это выражение можно разложить по отдельным частотам с помощью последовательного применения тригонометрических тождеств, выражающих произведения синусов и косинусов через суммы членов, зависящих от сумм или разностей частот. В результате мы получаем следующие компоненты:
