Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Іа; ? = ®a? + ^al? — IcH?, что позволяет нам построить вектор, не зависящий от А:
Bk = ?|? = e^?Vcoa?|Y. (9) 314
РЕШЕНИЯ
Выразим aa? через В:
eXpaxB = — Wa?^v^pay., sKpaxB І = ©a?iv^PoK^ •
Поскольку coa?g? = 0, отличные от нуля члены встречаются лишь при у = *-'
e*pa*№ = -2cOpa^\
Подставляя в уравнение (8), преобразуем его к виду Новое уравнение аналогично уравнению (1) с
(Ua) -1.
В силу соотношения (9) правая часть этого выражения равна BvefloSei ??a/2g«ia-
4) Из п. 3 следует, что о = 0 в том и только в том случае, если i[a;?Scr] = 0. Но именно это и есть условие гиперповерхностной ортогональности вектора § (задача 7.23), т. е. статичности метрик (см. задачу 10.8).
Решение U.U. Уравнение переноса для спина гироскопа имеет
вид
= (S • а) и", SaUa = 0. (1)
Локально измеренная производная /-й компоненты (относительно локально лоренцевской системы отсчета) вектора спина по времени равна
= S-r«roea = r«;6Sa=r?roS'. (2)
(в этих преобразованиях мы использовали уравнение (1) и определение символов Кристоффеля). Пользуясь тем, что в ортонор-мированном репере символы Кристоффеля антисимметричны по двум первым индексам, уравнение (2) можно преобразовать к виду
где ГЛАВА И
31&
Необходимо вычислить символы Кристоффеля r^?. Метрику на поверхности Земли приближенно можно записать в виде
ds2 = — (1 + 2<р) dt2 + (1 - 2<р) 6/A dx' dx* - 4h, dx' dt, (4>
где
<p = — M/r = 0(e2),
h = = (5>
и 7—момент количества движения Земли. Мы проводим вычисления в ньютоновском пределе, где скорости по порядку величины равны и сохраняем члены порядка е3. У наблюдателя со
стационарными координатами в метрике (4) имеется ортонормиро-ванный базис 1-форм:
й>° = (1 + Ф) $ + 2h/2xJ, й7 = (1-ф)аг/. (6)
Векторы дуального базиса, определяемые соотношением
<o5, е&) = б«з,
имеют вид
е^ = (1-ф)0/0/, е7 = (1+ф)^--2h/d/dt. (7)
Если гироскоп обладает 3-скоростью Vh связанной с 4-скоростью соотношениями
UZ = V1U0, и0= І-ф + yu2 (из U-U = -I), (8)
то в системе отсчета стационарного наблюдателя
V1 = 4" = <й?. «)/<uo. u> = (1 - 2Ф) Vh (9)
и
Базисные векторы в ортонормированном репере, сопутствующем гироскопу, получаются из базисных векторов (7) под действием преобразования Лоренца — буста — Vj:
= A^e-,
а а а'
где
А°з = у - 1 H- Y v2> Л°/в УиТ = Л?6 .
Л* % = Vk + (Y - 1) vt и* /V2. (10)
Они оказываются равными еб =(і -Ф+ Y V2) d/dt + (1 - ф + J V2) v"didx\
(11)
е; = [(1 - 3ф +1 ^2) Vi - 2h,] djdt + [б/л (1+ ф) + у v)vk\dldxk. 316
РЕШЕНИЯ
Символы Кристоффеля в ортонормированном репере можно найти по формуле
ІААА S — [С а а а —I— Г л л л -С* а а |
Iiva 2 v Iiva 1 iiav van/»
Ca A A S= [е* , Є'1'Є< HV а In' Vj «•
Подставляя базисные векторы (И) и удерживая члены порядка <0(е3), находим
Iе/ • ео] = (- Ф./ + т v*i ~ 0A < - т vftvUt - VkV/, k) dtdt +
+ \vk.) - ф./ Щ + у V*/0k + J V2Vkt ,+V1Vkii + + J VfVmVk, и — - J (V,Vk).t — "тф. nfi/k ~ Vт у (VjVk). т] д/дх". Поскольку
ТО
[е/> Єв]-Є? =(1 -ф + У u2)V»-/ + VkV,,1+ VtVkJ + у V/VmVk. т + + VmVkV,, „ + J VmVkVm,, — у (VjVk) J ~ fтф. »Ak -VmJ (v,Vk), т.
Следовательно,
[е?> e8].ej-[e8, es].e? +
+ J vm(vkv,,m — V,Vk,m + VkVmj — V,Vm,k) (13)
и
Iе/' eft]==[(1 —2ф + уv2)vkj + v,vkj — ZyjVk + + j v],vk - 2hkj + у VlVmVkim ]<3/д/ +
+ [ф, Am + у (VkVm), f + jv, (BtDm)1J д/дхт - {/ ~ k\,
•откуда
[е/> е*]-ео==(1 -4 + ^v2^(vhk-vkj) + A(y,jVk-y,kvi) +
И- 2 (hk,, - h,,k) + VkVlJ - VlVkJ +
+ -j vm (vfvm, ft - VkVmj + vkv,,m - v,vk, m). (14)
Таким образом, символы Кристоффеля имеют вид
I ( dv/ dvk \
= 2(yjvh - ф,kv,) + hk,, -h,,k + j\vk-^.— v, J, (15) ГЛАВА 10
317
где
dv, dvі dv,
-дГ^-дГ + ^д^ = -^' + "'- (16)
Здесь а означает ускорение, создаваемое неинерциальными силами. Для движения по геодезическим 3 = 0. Таким образом,
vIko = T (Ф./°* - Ф.+ Ki - А/.* (17)
и соотношение (36) можно представить в виде
Q = Vxh + (18)
Если бы афО, то в (18) появился бы лишний член 1Z2OXv, соответствующий томасовой прецессии.
Член 3/а^ф X V называется «геодезической прецессией». Для частицы, движущейся по круговой орбите радиуса г,
о _ 3 м ґ \
"геодезич — 2 TT [Vbe4> ~~ Vvev)>
где
' M \Va (sin2 -ft—Sin2 а)4'
sin
M \v, sin а
sin'
— компоненты скорости частицы в сферической системе координат, а а —угол наклона плоскости орбиты к полярной оси. В рассматриваемом нами порядке теории возмущений по е не имеет значения, какие индексы мы используем: со знаком лили без него. Геодезическая прецессия по порядку величины составляет п 3 ( M у/, M Q„
«геодезич ~ У I J в ГОД,
где R — радиус Земли. Член, не зависящий от v, называется прецессией Лензе —Тирринга:
ол-т=(- /+3 (7;;} 7) - - о, і" в год.
Этот член можно было бы также получить из задачи 11.10, поскольку с точностью до е3
fl/~ Q/ ~ BJ°y«'l] ¦
2|Y|V
Поскольку
Іо = -(1+2ф), 1, = -2hj,
то
& = Zjkihitk, U = Vxh. ГЛАВА 12
Решение 12.1. Приравнивая гравитационное ускорение Gmjri центростремительному ускорению со2/-, мы получаем закон Кеплера:
