Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
COS ft = ez • е?, =
= (sin \!реу + cos г|:ez) ¦ (cos ф ?ex + sin ф^ey) = = sin г|) sin ф.-, и аналогично
sin ft sin ф = ey • ?q = COS Ifi sin фт), sin ft COS ф = Єх • Є0 = COS ф Г. Из задачи 11.8 известно, что движение вектора собственного момента количества движения Земли J во внешнем гравитационном поле описывается уравнением
ей РЕШЕНИЯ
где компоненты момента N равны
N І = — ZljktjrnRkmf»
а тензор приведенного квадрупольного момента определяется выражением
Ьт = j P [х>хт - у d3x.
Предположим, что Земля имеет сфероидальную форму с моментом инерции С относительно оси вращения и моментом инерции А -относительно экваториальной оси. Тогда в координатах хуг имеем
C = \9(x* + y*)d3x,
А = $ р (хг + г2) d3x = \ р (у2 + г2) d3x.
Из компонент тензора tjm от нуля отличны лишь
3
txx — tyy--о" (С — Л),
3 силу чего
Nx — — (С — A) Rzoyot Ny = (C-A)Rzoxo, Nz = 0.
В слабом поле (в пределе медленных движений)
_ д'Ф rSzOiO- дгдх1 .
где Ф — ньютоновский гравитационный потенциал:
ф = ФСолнце +Флуна.
Поскольку
^ Mm ФСолнце (X, У, z)---u
[(* - х,)г+(У- У г)2+(г - г©)2],/!' то
агФ
dz дх д2Ф
ЗМ( - sin d cos § cos ф Г®
ЗМ ^ sin Ф cos Ф sin ф
r®
dzdy
Следовательно, NСолнце имеет в системе хуг компоненты
Nсолнце = За (С — Л) sin ft cos ft (sin ф, — cos ф, 0) ==
= 3а (С — A) sin г[) sin ф^ (cos ij) sin ф^, — cos ф0, 0), ГЛАВА 10
311
где а = M -.Jrhj. Учитывая, что угловая скорость обращения Солнца вокруг Земли во много раз превышает угловую скорость прецессии, которую требуется найти, Л/солнце можно усреднить по орбите Солнца. При усреднении член sin2 срдает V2, a sirupcos ср переходит В 0. Следовательно, ИЗ компонент момента Л/солнце от нуля отлична лишь компонента
^Солнце = ^Солнце = 3_ а {С _ А) sin ^ cos ^
Аналогичное выражение получается и для усредненного момента, создаваемого Луной (необходимо лишь вместо а взять b =s /Wyr^). Следовательно, при / = 0 в направлении оси X существует момент величиной
N = j(a + b) (С — A) sin ір cos
Это означает, что за бесконечно малый промежуток времени dt вектор J получает приращение dJ = Ndt в перпендикулярном направлении и, таким образом, поворачивается вокруг оси Z на-угол
, _ dJ = Ndt * ~ / sin t|> J sin i|>'
Период прецессии— это промежуток времени, за который угол изменяется на 2 я:
гр_ 2я J sin г|)
1 N •
Пусть J = Ca, где © — угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси. Тогда
T — — С 1 о
3 С — A cos ф а + Ь •
Подставляя численные значения
С/(С- Л) = 305,3, = 23,45°, © = 7,292 - IO-8C"1, Al0= 1,989. IO33 г, ro= 1,496-IO13cm, Mlf = 7,349- IO23 г, r^ = 3,844- IO10CM,
находим
Г = 25 600 лет. 312
РЕШЕНИЯ
Согласие с данными наблюдений лучше 1%. Некоторую ошибку в вычисления мы внесли, предположив, что для земного наблюдателя Солнце и Луна движутся по круговым орбитам. Кроме того, орбита Луны несколько отклоняется от плоскости эклиптики.
Решение 11.10.
1) Наблюдатели обладают 4-скоростями u = g/|g|, где Jgj = = (—!•!)'/.. Следовательно, если учесть, что §]=0, то
^IeO = = [5. и] = [V1 (-1.1)-'/.]
Но поскольку ! удовлетворяет уравнению Киллинга = 0, то Vl (6 • 6) = Л); ? ^ = 2?а; ?ia|? = 0.
Таким образом,
Xjfis = 0.
Кроме того,
X1е; = 0,
так как векторы ел соединяют точки с равными значениями t на мировой линии любого наблюдателя (см. задачу 8 14).
2) X1QL = Хх(Ф -^e- ® ... ® ej) =
= (Х%ф - В) eA ® ... ® eg - * (?) ® ... (8) е& +... ...+ Qi--^ei® ... ® (Xte$).
По доказанному в п. 1 в нуль не обращается только первый член в правой части, поэтому
(JP5Q)"¦-г = X1 (<? - ?) = VgQ« ••• ?) = -J-Qp- - ь
(напомним, что Q® — ? — лишь скалярная функция). В единицах •собственного времени скорость изменения тензорной величины Q равна
3) В локальной системе покоя наблюдателя уравнение прецессии имеет вид
dS1
где S —вектор спина гироскопа. Но е?^ = Hfkt ~ u,aRa/!k i> поэтому 4-мерный вариант уравнения прецессии можно записать следующим образом: ГЛАВА 10
313
или, что то же,
TT-6fieS«*<оф. (1).
Мы хотим вывести уравнение вида (1) и определить ш. Известно (см. задачу 11.4), что S допускает перенос Ферми — Уокера, т. е.
VuS = (S-a)u (2>
и
S-U = O. (3)
Уравнение (2) преобразуется к виду
ViS = (S-ViI)IZIIP, (4)
а из уравнения (3) следует
S-I = O. (5)
Из (2) получаем
= ^1S = V1S -vs|. (6)
Поскольку вектор I выступает как (ненормированная) 4-скорость, то Vg удобно разложить так же, как Vu (см. задачу 5.18). Так как g — вектор Киллинга, то величина Vg антисимметрична, и поэтому ее можно представить в виде
V| = ft) + A® |-|® А, (7)
где о) — антисимметричная величина, причем <й-| = 0. Так как (V!)- ! = Vs! = - !• (vi),
то
A = (V1I)(M)-1
Итак, из уравнений (6) и (4) находим
-J = -(S-V1I)I(I-I)-I4-S-VI = S-CO (8)
[в первом равенстве мы воспользовались тем, что Vs| = (V|) • S = = —S-V|]. Теперь о необходимо выразить через некоторый вектор так же, как это сделано в уравнении (1). Чтобы проследить, как изменяется при свертке по тем или иным индексам первоначальный набор индексов, вычисления удобнее вести покомпонентно. Уравнение (7) в подробной записи принимает вид
