Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Ja< 0 (О) = Sa» + = — E0^v [SllUv + VvV
Л + В А В \А А В В J
По закону сохранения момента количества движения выражение, стоящее в правой части, равно Ja^ (О). Подставляя его в соотно-
с
шение для вектора спина, получаем
Sa = -YtaaV J<*uK = С i CC
= і BaafJ^v (SllUv + Vv) u\ г \ Л А В В J С
Как доказано в задаче 3.28 (см. также задачу 3.27),
= -26?. 306
РЕШЕНИЯ
Следовательно,
S0 = — SaKSplUv + SplHv) Uk =
С A A ВВС
S=-S0 (U-U)-Sa (U-U) + Ua(S-U) +иа (S u).
AAC ВВС AAC ВВС
Подставляя (Р + Р)/|Р + Р! вместо и, получаем выражение для
ABAB' С
S, которое требовалось найти. с
Решение 11.7. Уравнение томасовой прецессии (см. задачу 11.4) имеет вид
§«u(a.S).
В лабораторной системе отсчета мировая линия частицы описывается уравнениями
X = TCOS со/, j/ = Tsinco/
(со и г —постоянные). Следовательно, dx
u° = Y, u-* = y-jj- = — соту sin со/, My = Ywcosco/, Uz = О, где Y = O — f2w2)_,/*- Но a = du/efr, поэтому
a0 = O(Y = Const), аХ~У-~йГ> аУ~ — Y2®2'"sin 6^. а* = О
и
Sa = Sxax + S«a« = — coVy2 cos соtSx - co2ty2 sin со/S". Таким образом,
dS° dSo о/ сч - on /,ч
-JT=V^r= "°(a-S) = v^a-S)f (1)
-^r = y^f- = их (a-S) = - агу sin со/ (a-S), (2)
-^-= Y-^-= u» (a S) = со/7 cos со/(a-S), (3)
^ = O- (4)
Введем радиальную и тангенциальную компоненту вектора спина:
Sx = Sr cos ©/ -S^sinco/, Sf = S'sin ©/ + Stf cos ©/. ГЛАВА 10
307
Из уравнений (2) и (3) получаем
= coS», (5)
dt dS»
(Hy2Sr. (6)
dt
Уравнения (5) и (6) можно записать в виде одного уравнения второго порядка и, решив его, найти Sr:
AlQr
= - ^Sr Sr = A COS(O)y/ + а), (7)
где А, а — постоянные. Тангенциальную компоненту спина получим из уравнения (5):
S0 = - у A sin (ayt + а). (8)
Компоненты вектора спина S в декартовых координатах определим из уравнений (4), (7) и (8):
Sx = A [cos at cos (<луі + a) + Ys'11 ®^sin (ауі +а)], (9a) S« = A [sin (at cos (©y^ + а) — Y cos 6^ s*n + 0OL (96) S? = const. Запишем начальные условия
Sx = h(2)-'/., Sf = O, = (9в)
(Мы не рассматриваем здесь квантовомеханический смысл спина электрона, но тем не менее считаем желательным, чтобы выполнялось соотношение S2 = 3a2/4.) Из этих условий следует, что <х = 0, A=h(2)-1/«, и соотношения (9) можно представить в виде
S-* + іSy = 2-Ч'Л [g-'(V-D<а/ 4-/(1 -Y) sin (10)
Первый член в правой части соотношений (10) и (9в) указывает на прецессию вокруг оси г с угловой скоростью
«Томас = (Y- 1)©^ {Л, (И)
в то время как второй член в правой части соотношения (10) для электрона в атоме мал ^ 1 — Y ^ —\
Решение 11.8. Воспользуемся для вычислений локально лорен-цевской системой отсчета, сопутствующей центру масс тела. Рассматривая центр масс как исходную точку в уравнении расхождения геодезических, запишем относительное ускорение элемента 308
РЕШЕНИЯ
массы в положении х}:
dt* А 0 k 0Л • Vі/
Тогда і-я компонента момента, приходящегося на единицу объема, равна — е^ - j.x'pRi g ? gx*, где р —плотность массы в точке пространства х'. Полный момент, представляющий собой не что иное, как производную по времени от внутреннего момента количества движения, имеет вид
-TT=-ЧГ,*'Mb Jp<2>
если считать, что тензор Римана R^ приближенно постоянен в пределах тела. Вследствие симметрии произведения е- ^ Rf * -g уравнение (2) эквивалентно уравнению dS*
-Or=-ZiiitU*! о%0. (3>
где
^ = J P (хІ х% - І r^7 й ) d*x-
Если тензор квадрупольного момента № определить так, чтобы ta&u$ = 0, т. е. чтобы в локально сопутствующей системе отсчета он имел лишь пространственные компоненты, то инвариантная тензорная запись уравнения (3) будет иметь вид
= (4)
Заметим, что в случае сферического тела или тела достаточн малых размеров, когда приближенно выполняется равенство
(Тензор Римана) X (Размеры тела)2 я« 0,
уравнение (4) вырождается в уравнение
DSH/dx = 0.
(См. задачу 11.4 при а = 0.)
Решение 11.9. Воспользуемся двумя системами координат. Пусть XYZ- пространственные координаты локально лоренцев-ской системы с пространственным началом, совмещенным с центром масс Земли. Плоскость эклиптики совпадает с плоскостью XY. Условимся предполагать, что с точки зрения земного наблюдателя Солнце и Луна движутся в этой плоскости по круговым орбитам. Пусть xyz — пространственные координаты аналогичной ГЛАВА 11
309'
лоренцевской системы отсчета, но с осью г, параллельной моменту количества движения J Земли. Выберем ось х параллельно оси X. Базисные векторы двух систем координат связаны между собой, соотношениями (фиг. 25)
ех = ех,
еу = cos ^ey — sin г|:ez, ег = sin ^ey + cos ipez-
Здесь 23р — угол между J и осью Z, который остается постоянным, если пренебречь небольшой нутацией. Вектор J прецес-сирует вокруг оси Z с периодом T, который требуется определить,-
Фиг. 25.
Пусть Є0 —единичный вектор, направленный на Солнце. Если в системе координат xyz Солнце имеет сферические координаты (r&, ft, фз), а в системе XYZ-сферические координаты (г.я/2» Фэ). то
