Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Если же ! — времениподобный вектор (например, при радиусе, стремящемся к бесконечности), так что I0 >|, то правая часть соотношения (1) всегда положительна и существует конечная нижняя грань значений, принимаемых отношением Е/ц. Подставляя 302
РЕШЕНИЯ
в (1) соотношение (2) с верхним знаком, получаем
(і2 + ?2/Р2) f2 - + (Io- ?>2) = 0.
Экстремум отношения ?/(х мы находим, полагая равным нулю дискриминант этого уравнения, квадратичного по v:
KopeHbfZiJ1 = O ложный. Отбрасывая его, получаем нижнюю грань отношения Е/ц:
(EIvY = W-I* = - %¦%.
Итак, область допустимых значений в произвольно выбранной точке для времениподобных векторов ! зависит от нормы вектора Киллинга в этой точке:
2
(-М) 2"<?/ц< + с».
Решение 10.16. Для пробного электромагнитного поля необходимо лишь проверить, что в заданной исходной метрике выполняются уравнения Максвелла. Если векторный потенциал Лй — вектор Киллинга, то
^5li = Of
т. е. соблюдено условие Лоренца, и, пользуясь результатом, доказанным в задаче 10.6, и тем, что в пустом пространстве R% = 0, можно записать волновое уравнение
Ali'' Vv — RtlvAv = 0.
Если в пространстве Минковского введены сферические координаты и А^д/дф, т. е. отлична от нуля лишь компонента векторного потенциала ^f = Const, то J^ ^r sin ft, или в обычных 3-мерных обозначениях
K= arsin fte- (а — постоянная).
Следовательно,
E=O и B = V X /=2a(cosfteI — sinfte^)= 2ае}.
Это означает, что существует однородное магнитное поле, параллельное оси г. (Эту задачу предложил Роберт М. Вальд.) ГЛАВА JO
Решение 11.1.
= u®p — p®u=^p®p-p®|p = 0.
2) Рассмотрим моменты времени непосредственно до столкновения и сразу же после столкновения. Поскольку все частицы при столкновении находятся в одной и той же точке, то
AX(ft) !до = АХ(Л) |после = Ax
(где Дх —смещение в точку столкновения) и, следовательно,
2 J W 'после = А X 0 S Pw !после — (Yl Pw после) ® Ax = <М (ft) \<ft) /
= Ax <g> 2] Pw Ідо - (Е P(A) Ідо) ® А* = E J (ft) Ідо,
№ \ (ft) I (k)
поскольку полный импульс 2jP(A) при столкновении сохраняется.
(А)
Решение 11.2.
а) «Плотность момента количества движения» Ja^, определяемая соотношением
ya? Y = 2 Х^Т^У = XaT^ — XtTay, удовлетворяет уравнению
ya?v( у = fly?v 4-Xf^Tty, у - б\Tav - X^TaV, у = TPa - Ta* = 0.
Следовательно, по теореме Гаусса
ja? _ (j jafiy d3
— сохраняющаяся величина.
б) JaP (х° + а°) = $ (ааТ^У - аРТаУ) d3?y + Ja* (ха).
Таким образом, величина Ja^ не инвариантна относительно трансляций (моменты количества движения относительно разных точек различны). 304
РЕШЕНИЯ
в) Рассмотрим производную спина по времени:
___L8 JUHtAA. rtv
ИГ--2ЄаМ(-~dTu +jpyWj-
По доказанному в п. «а» первый член в правой части обращается в нуль. Второй член также равен нулю, поскольку на систему не действуют никакие силы (du6/dt = 0). Следовательно, dSa/dt = 0.
г) По доказанному в п. «б»
Jat (ха + а0) = ааР$ - atPa + J^ (х°),
поэтому
Sa (Xа4-= —Y е«М (aaPt - at Pa) Ps/\ P \ +Sa (х°).
Поскольку первый член в правой части обращается в нуль (е — полностью антисимметричный тензор, a P^ входит квадратично), то Sa (ха 4- а°) = Sa (л:°).
Решение 11.3. Из определения внутреннего спина Sa, пользуясь полной антисимметричностью тензора е и симметричностью произведений U6Ua, получаем
UaSa = — ~ Bafiy6Jtyu6Ua = 0.
Решение 11.4. Рассмотрим наблюдателя в локальной инерциальной системе отсчета, сопутствующей центру масс гироскопа. Поскольку к гироскопу не приложены никакие моменты, то с точки зрения этого наблюдателя ось спина не прецессирует и поэтому dS/dt = 0. Но в той же системе отсчета 4-скорость гироскопа равна 11 = (1, б), поэтому условие равенства нулю суммарного момента, приложенного к гироскопу, можно записать в виде
VuS = gu,
где g — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности. Величину g мы найдем из соотношения ортогональности S u = O:
O = Vu (S • u) = (VuS) • и 4- S • (Vuu) = gu • и 4- S • а = — g+S-a.
Следовательно,
VuS = (S • а) и.
Это соотношение представляет собой не что иное, как перенос Ферми —Уокера:
VuS = (S • a) u — (S • u) а
при S-u = 0. ГЛАВА 11
305
Решение 11.5.
а) При вычислении момента количества движения относительно центра масс в системе центра масс следует иметь в виду, что
]х'Т00 d3x = 0,
т. е. начало координат совмещено с центром масс, и
\Ti0d3x = 0,
т. е. суммарный момент количества движения относительно центра масс равен нулю. Таким образом,
Ji0 = J d3x (XiT00 - tTi0) = 0,
или в обозначениях, не зависящих от выбора системы отсчета,
Ja% = 0.
б) По определению 4-вектора спина S6 имеем
- EaWSyU6 = у ea^eyilvaj^uau6. Суммируя по Y (см. задачи 3.27, 3.28), получаем
- у = - JaH^u6 = JaP = S<*.
[В сумме сохраняются лишь члены Ja^. По доказанному в п. а J не содержит индекс б, поскольку умножается на U6.]
Решение 11.6. Вычислим сначала полный момент количества движения. Выберем систему центра масс и примем за начало отсчета О столкновение тел А и В. Относительно события О тела А и В обладают лишь внутренним моментом количества движения (см. задачу 11.5), поэтому
