Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Si(Hiv)=IM-V-HivlH = O- (!)•
Перечислим линейно-независимые решения уравнения (1) и приведем их классификацию:
1) Векторы Киллинга, порождающие трансляции:
V = OA « = 1,2,3,4, (2>
где а; —постоянные векторы.
2) Векторы Киллинга, порождающие повороты:
Ц = 0, % = е""хт, A = 1, 2, 3. (3)
Проверка:
Ift (н, v) = Ia (Ij) = хт< у&г) km = 8т (JZi) km = — eA (iy) = 0. ГЛАВА 10
299
3) Векторы Киллинга, порождающие бусты:
& = ft= 1,3. (4)
Проверка:
•Соотношения (2)-(4) задают 10 векторов Киллинга в системе координат, в которой ?^ = (--1, 1, 1, U- В любой другой системе координат компоненты Ij1 для t'=l, 2, ..., 10 можно найти, преобразуя их как векторы.
Решение 10.10. Изменение скалярного произведения и • | вдоль геодезической определяется выражением
Vu (U-I) = (VuU) -I + U-(VuI).
Но Vuu = 0, поскольку и —вектор, касательный к геодезической, я U-VuI = O, так как | —вектор Киллинга. В покомпонентной записи получаем
и • Vu| = UaUt |а. р = ыамр |(в;р) = о. Следовательно, вдоль геодезической u-| = const.
Решение 10.11. Дивергенция вектора J равна
Л H = (TiavIv); „ = 7Г ^v + T^ |v; „ = 0 + T^ l(v; „) = 0.
Если I = d/dt, то на бесконечности, где g00 =—1, J* = Ttt0 = — T*10. Следовательно, для стационарного наблюдателя J совпадает с вектором потока энергии, но имеет знак минус.
Решение 10.12. Согласно задаче 10.11, подынтегральное выражение Ja==zTa0 представляет собой сохраняющуюся величину: Ja. а = 0. Этот результат следует из тождества
Ja-.* = (\g\4'Ja),a\ gl''1'
л теоремы Гаусса:
о = $ Л a I g Г'« CliX = ^i I g\^Ja), ad*X = § J- d3 Sct =
= Ua d3 d3Ea.
F, F,
Мы предполагаем, что на бесконечности J стремится к нулю достаточно быстро и влиянием краев гиперповерхности можно пренебречь. Следовательно, интеграл, приведенный в условиях задачи, не зависит от выбора пространственноподобной поверхности F. 300
РЕШЕНИЯ
Решение 10.13. Из задачи 10.11 известно, чго для любого вектора Киллинга | вектор Jv- = T^|v сохраняется, т. е.
/% = l?|-V>(lglV°.na = 0. (I)
Из задачи 10.9 мы знаем, что в плоском пространстве-времени существуют 10 линейно-независимых векторов Киллинга 1=1,2,...,10. Им соответствуют 10 сохраняющихся векторов:
Лі) =^vS(I)V (2)
Соотношения (1) и (2) позволяют построить 10 глобально сохраняющихся величин:
Q(I)^Jler-Aod3*, *= 1,2.....ю, (3)
поскольку
^r = J (і s i'7--'«)0). .^ = -Jdff I''* J(Ok), a dh = = -$ Ig Г'W12*-
Последнее выражение имеет простой физический смысл: это поток вектора J(о через (2-мерную) поверхность, ограничивающую объем, по которому производится интегрирование. Если тензор энергии-импульса T на больших расстояниях спадает достаточно быстро и объем, по которому производится интегрирование, бесконечен, то поток обращается в нуль и dQ(l)/dt = 0. [Другое доказательство использует решение 10.12.]
Векторы Киллинга, порождающие трансляции, приводят к четырем величинам Q, соответствующим сохранению энергии и импульса. Векторы Киллинга, порождающие повороты, позволяют составить три величины Q, соответствующие сохранению момента количества движения. Физический смысл трех величин Q, к которым приводят векторы Киллинга, порождающие бусты, станет ясен, если их записать (например, в плоских декартовых координатах с lv = [x, —t, 0, 0]) следующим образом:
Q = ^T0vIvdx dydz =
= \xTwdxdydz-t\T0xdxdydz =
= хя м.Мц. м. - tPXa н = M ц. м. (хц. м. - va, J).
Это не что иное, как компоненты сохраняющегося «первоначального равномерного движения» центра масс (ц. м.) системы. (По определению
м. = $ XT00 dx dy dz/\ T00 dx dy dz.)
Решение 10.14. Компоненты 4-скорости и равны «« = &x/(-?v№ ГЛАВА 10
(знак минус выбран для того, чтобы член в скобках был положителен), поэтому
в_Г , Sq*r. 1 ??
Второй член в квадратных скобках обращается в нуль, так как.
Поскольку |а; р = — |?; а, то первый член дает
_ i?; o?? _ 1 (i?i?); «_!,-,_, » t?YI
°a — +|Y|V — 2 (gv?Y) — T Im 6P5
Решение 10.15. Рассмотрим частицу с массой покоя р и сохраняющейся энергией E =— р |, где р— 4-импульс, а | —време-ниподобный вектор Киллинга. Для траекторий, проходящих через заданную точку пространства-времени, допустимы не все значения Е/ц. Например, если радиус стремится к бесконечности, то должно выполняться неравенство Е/ц ^ 1. Чтобы найти верхнюю и нижнюю грани значений Е/ц для произвольной точки, построим в этой точке ортонормированный репер. Пусть 4-скорость частицы и обладает компонентами (у, yv), где и —3-вектор и у = (1 — а времениподобный
вектор Киллинга | — компонентами (|0, |), где І — 3-вектор. Отношение энергии частицы к ее массе покоя определяется выражением
A=-U-Iw=V(I0-U-I), (1)
где точка означает скалярное произведение в локально евклидовом 3-пространстве. Необходимым (но не достаточным) условием экстремума (задающим верхнюю и нижнюю грани допустимых значений Е/\і) служит соотношение
v-l = ±vl, (2)
где v = \v\, | = |1|. Необходимо различать 2 случая.
Если I — пространственноподобный вектор (например, в эрго-сфере черной дыры Керра), то I0Ci- В этом случае, как следует из соотношения (1), допустимы любые значения Е/ц, т. е. — iCo < E/їх < + оз. Эти неравенства дают ответ на вопрос задачи для областей, в которых ! — пространственноподобный вектор. Бесконечные пределы соответствуют u-vl с двумя знаками, приведенными в соотношении (2).
