Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к общей системе координат (в которой базисные векторы е, и tj не принадлежат гиперповерхности), соотношение (2) можно преобразовать к виду
Kafi =- у (пу; в + п6; у) Р\Р%, (3)ГЛАВА 9
287'
т. е. записать как проекцию на гиперповерхность симметризован-ной ковариантной производной вектора п. Используя явный вид проекционных тензоров Pva в соотношении (3) и сравнивая полученное выражение с соотношением (1), находим
Kafr —--2 ^nPa?-
Решение 9.31. Пусть л;3 = 0 — уравнение поверхности, где х1, X2, X3 — введенные на ней гауссовы нормальные координаты (см. задачу 8.25). Тогда площадь поверхности равна
A = JgV2 dxldx2,
где g — определитель 2-мерной метрики gl) на поверхности. Про-варьируем площадь, сместив элементы поверхности на бх3 по нормали n = д/дх3:
OA^lOg'/'dx^x2. В задаче 21.1 будет доказано, что
Sg1'' = \ g4'giJ 8gij = j g4'g"gif. з б*3. Поскольку мы ввели гауссовы нормальные координаты, то
Кц— — Y Sv-3'
б А = — $ g"Ktjg11 dx1 dx2 dx3.
Площадь А минимальна, поэтому 6/4 = 0 при всех 8х3 и должно выполняться равенство
K = ^Klf = O.
Решение 9.32. Пусть et — координатный репер на гиперповерхности 2. Уравнения Гаусса — Кодацци представляют собой тензорные уравнения и выполняются независимо от того, какой репер был использован при их выводе. Векторы et вместе с вектором п образуют базис в пространстве-времени, поэтому
^Vie, = atfn + ?W (1)
Коэффициенты в уравнении (1) можно найти, умножая его скалярно на п и ек (п-е( = 0):
eat, = n • ^Vfij = WV1 (n • е7) - е; • WV,n = 0 + Kij, ?w-е*-WV^-Wrvi -Wrvi.
Последнее равенство следует из того, что символ Кристоффеля можно вычислить непосредственно по i3)gtj. С этими коэффициен-288
РЕШЕНИЯ
тами уравнение (1) переходит в уравнение Гаусса — Вейнгартена:
wVje, = в/С,,n + (3,rW (2)
Тензор Римана можно вычислить по производным от символов Кристоффеля Г; используя оператор кривизны (см. задачу 9.12), можно несколько сократить выкладки:
/?a?Y6 = еа ¦ R (eY, е6) ер, (3)
где
R(ev, ее) = [Vvt VJ-Vfer еб]. (4)
Запишем уравнение (4) для векторов еу и е*. Последний член в правой части обратится в нуль, поскольку в координатном репере [е,, е*] = 0, и
(4)V,WV^ei = <4>V, (eKikn + <3>Гтг*ет) =
= EKlkJll - EKikKГ*т + (3)rm,ftl/em + + <3>Г^є/С/тп + <3>Г»т/ел). (5)
Переставим индексы / и k в уравнении (5) и вычтем новое уравнение из старого. Мы получим
R (еЛ е4) е, = е (Кім , і - Kt, і k) n + ет [е (КцКкт - KikK,т) + ^RmijkI
(6)
Умножая уравнение (6) на п и е„, получаем уравнения Гаусса — Коданци.
Компоненты тензора Римана с двумя индексами п можно найти из R (eft, n)n. Поскольку вектор п входит в число базисных векторов координатного репера, то [n, eft] = 0; следовательно, последний член в правой части уравнения (4) обращается в нуль и
R (е*. n) n = <«>ViWVnn - WVnWVftn.
Но (4)V„n = 0, ибо п — вектор, касательный к геодезической (гауссовы нормальные координаты), в силу чего
Є/ • R (е*. n) n = е< • WVn (Kkmem) = Кы,п - KkmZm • V„e<.
Так как [е, п =0, то
wv„e, = i«)V(n = -/C^.
откуда
Rinkn = zRnink = Кы,п + K/K/k-
Решение 9.33. Компоненты тензора Римана были вычислены в задаче 9.32. Свертывая, получаем
WBtl = ^RTknj +"/TW) = = ^Ri) +е (gikKkj,n + UimKmi - KtjK), (1)ГЛАВА 9
289'
где K^KiI- Ho gik,n = — gimgksgms,n (СМ., например, задачу 21.1), И В гауссовых нормальных координатах — gms,n = ^Kms, поэтому
gik,n = ZgimgkSKms = ZKik.
Уравнение (1) теперь можно представить в виде
wRij = ^RiJ + Є (gikKkJ.n + gik.nKki - KijK) =
= MRtJ+ B(KiM-K1iK)- (2)
Для других компонент тензора Риччи получаем
WRnj = ZWRanaj = - W^tIj = г (Ku- Kii „), (3)
WRnn = ew R'nin = BgU (Ki1,п + KimKmi) = е (К,п - KlmKmi). (4)
Таким образом, скаляр Риччи равен
WR = Rnn I*)f>i, = (»)/? е (2К,п - KlmKim - K2), (5>
а компоненты тензора Эйнштейна —
Qnn = WRnn _ 1 14>Я = _ 1 WR +1 в {К2 _ KimKim)t (6),
WQnj = WRnj =&{Ки._ JC'/u)> (7).
WGij = WHij-^bitWR=,
= (3)G'; + є - /CV/С - і- 6V (2/(,„ - /С^/С"» - /С2)]. (8)
Приравнивая выражения (6) и (7) соответствующим компонентам тензора энергии-импульса, получаем «уравнения с начальными значениями» для гравитационного поля.
Решение 9.34.
1) Поскольку на сферической поверхности не существует выделенного направления, то в ортонормированном репере тензор внешней кривизны Kij ~ бIj- Таким образом, любой вектор является его собственным вектором. Из определения тензора К как скорости изменения вектора нормали п следует, что собственное значение равно—1/(радиус сферы) = — 1 /а.
Подкрепим эти интуитивные соображения вычислениями. Для удобства перейдем к обычным сферическим координатам г, Ф, <р. Для сферы они совпадают с гауссовыми нормальными координатами и
ds3 = Wgik dx1 dx" = т% (du2 + sin2 ft гіф2).
Поскольку
„ 1 1 Ay = -Y gij, п = — Y Sil,г,
10 Заказ 110290
РЕШЕНИЯ
ТО
= і = тапг (- 7 sin2 *)., = - I- <!>
2) И на этот раз можно воспользоваться интуитивными соображениями. «Выделены» 2 направления: осевое и по окружности цилиндра. По определению тензора К кривизны (скорости изменения вектора нормали п) по этим направлениям должны быть равны 0 и —1/а.