Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
r«? = da? _ Л a?
Пользуясь решением задачи 9.8, запишем его в виде Ca^liv= AaaR^aJiv,
откуда
C%v = — AavR^anv — Av-aR Яну = — AovRav Ч~ A^-aRavi = 0.
Решение 9.11. Выберем в исходной точке P локально плоские координаты. Тогда в точке P символы Кристоффеля rapY = О,, но после перемещения на вектор и
raPY = r°W>"e.
Когда мы параллельно переносим вектор А из точки P на вектор и (фиг. 21), то компоненты вектора А принимают следующие значения:
[А (смещенный на u)]a = Aa + Aai?u? =
= Aa+ AailiUts - raV?AvuP = Aa.
После параллельного переноса на вектор v компоненты вектора 272
РЕШЕНИЯ
А становятся равными
[А (смещенный на и, а затем на v)]a = = Aa + Aa; ?y? - ГаїРЛ Yy? = = Aa- Гa^AvvP = Aa- Гav?tSA^u6.
В ту же самую точку мы могли бы прийти, обойдя две другие стороны параллелограмма, при этом
[А (смещенный на —V, а затем на —u)]a =
= Aa-Ta^fiAv и^. Полное приращение вектора А при обходе по замкнутому контуру
-U
Фиг. 21.
равно разности между первым и вторым выражением:
б Aa = — ГауМЛ*Лб + Г aylit6Avuhd = — Ray6fiAyv^u6.
Решение 9.12.
а) Рассмотрим сначала линейность по А. Ясно, что R (A1 + A2, В) С = R (A1, В)С + R (A2, В)С.
Кроме того,
VfAVB-VBVfA-V[fA, в] = = /VaVb - /VbVa - (VB/) Va - Vf[A, „J - AVBf. (1)
Два «лишних» члена компенсируются, и мы получаем
R (/А, В) C =/R (А, В) С. (2)
Нетрудно доказать, что оператор R(А, В) С в точке P зависит лишь от значения, принимаемого аргументом А в точке Р, а не от характера изменения А в окрестности точки Р. Пусть/(P) = O. Из соотношения (2) следует, что если в точке P аргумент А оператора R равен нулю, то и сам оператор равен нулю. Пусть A1 и A2-два векторных поля, совпадающих в точке Р, но отличающихся в каких-нибудь других точках. Из соотношения (1) получаем
R (A1, B)C-R(A2, B)C=R(A1-A2, В)С = 0. ГЛАВА 9
273'
Тем самым доказано, что оператор R зависит лишь от значения, принимаемого аргументом А в точке P (по симметрии доказательство распространяется и на аргумент В). Зависимость оператора R от значения, принимаемого аргументом С в точке Р, доказывается аналогично.
б) Поскольку существенны лишь значения, принимаемые аргументами А, В и С в точке Р, то все три аргумента можно произвольно выбрать ковариантно постоянными в окрестности точки Р. Тогда
(R (А, В) С)а = (VaVbC — VBVAC)a =
= 2Aia (B^1Ca- а = 2 AaBkCa, 0].
По доказанному в решении 9.8 это выражение равно
RaHkaO1 AxBa.
Тем самым утверждение задачи полностью доказано.
Решение 9.13. Пусть = X11Ck, «) —семейство геодезических с аффинным параметром К (фиг. 22). Параметр п нумерует отдельные геодезические. Вектор, касательный к геодезической, имеет компоненты Ua = Oxf1ZdK, а компоненты бесконечно малого
вектора, соединяющего точки с равными значениями аффинного параметра на соседних кривых, равны
Ha = OxaZdn.
Решение задачи особенно наглядно в абстрактных обозначениях. 274
РЕШЕНИЯ
Пусть
и = д/дХ, n = д/дп.
Поскольку частные производные коммутируют, то [и, п] = 0. [В действительности обращение в нуль коммутатора [и, п] служит определением вектора п, соединяющего точки бесконечно близких кривых с одикнаовыми значениями аффинного параметра (см. задачу 8.14).] Воспользуемся оператором Римана (см. задачу 9.12):
R(u, п) и = VuVnU-VnVnU-V[u n]U = = VnVnU = VuV0n
(последнее равенство следует из того, что коммутатор [и, п] обращается в нуль). Записывая полученный результат покомпонентно [см. задачу 9.12 (б)], находим DW d№
= (V0V0n =
Решение 9.14. Удобно перейти от декартовой системы пространственных координат к полярным координатам и записать метрику в виде
ds2 = — (1 - 2M/r) dt*+( 1 + 2M/r) (dr2 + г2 [сЮ2 + sin2 0 d<p2]). Для круговой экваториальной орбиты Ur = и0 = 0, поэтому Dur/dx = 0 = иаРарИ& = (и0)2 P00 + (и*)2 Г Vp
(d<p/d/)2 = co2 = -P00/P,
фф-
Фиг. 23.
Символы Кристоффеля вычисляются без труда, и мы находим (о2 = (2л/период)2 = М/гя.
Нетрудно видеть, что полученный результат совпадает с результатом, вычисленным в ньютоновском случае. В задаче 9.13 было ГЛАВА 9
275'
выведено уравнение движения для вектора п, соединяющего точки на двух соседних геодезических с одинаковым собственным временем. В этой задаче мы рассматриваем вектор соединяющий точки на двух соседних геодезических с заданным значением координатного времени. Из фиг 23, однако, ясно, что разность векторов п и ? пропорциональна относительной скорости контейнера с. мусором и «Скайлэба», и, следовательно, в низшем порядке ее можно не принимать во внимание.
Поскольку в системе координат t, х, у, г все символы Кри-
стоффеля имеют порядок Mlr2, a d/dx ~ (о ~ {Mir)^ г-1, то приближенно можно считать, что
Кроме того, я поэтому
D d . n d T- = J- + Гы^-т-. dx dx 1 dx
D2Idxt^d2Idtt.
В этом приближении уравнение расхождения геодезических имеет вид
^-+R1O/o(«W = 0, i = x, у, г, ¦а низшие члены компонент тензора Римана равны
RiOjO Г<00, f —Ti0Ji0 = — у g-00t ij —^ (дц — •
Если орбиту «Скайлэба» мы условимся описывать параметрическими уравнениями
