Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
РЕШЕНИЯ
симметричен относительно перестановки пар индексов (a?) и (76), то с учетом этого набор индексов a?y? можно выбрать M (М + 1)/2 способами.
Кроме того, тензор Римана обладает циклической симметрией: А-а.$у& = Ra&y& + Rrx&fiy + Ray 6? = О-
Симметричность тензора Римана относительно перестановок пар индексов гарантирует, что сумма Аа$у& полностью антисимметрична, поэтому условие = 0 нетривиально только в том случае, если все индексы a, ?, у, б различны. Число дополнительных условий совпадает с числом сочетаний из я объектов по 4, т. е. =я!/(га — 4)! 4!. (При я<4, когда симметричность тензора Римана относительно перестановок пар индексов не налагает дополнительных ограничений, эта формула дает 0 и поэтому остается верной.) Итак, число независимых компонент тензора Римана равно
у M (М + 1)-я!/(я-4)!4!=я2(га2-1)/12.
Решение 9.3. Для решения задачи необходимо каким-нибудь способом канонически упорядочить 21 независимую компоненту тензора Римана и каждому набору из 4 индексов /, J, К, L присвоить номер N^ 21. Именно это и выполняет приводимая ниже программа, которая присваивает очередной компоненте тензора Римана R(I, J, К, L) вычисленное значение R(N), где I^/V^ <21.
READ I, J, К, L SET SIGN = I
IF I = J OR K = L SET RIEMANN=O AND RETURN
IF I>J EXCHANGE I, J AND SET SIGN=-I
IF K>L EXCHANGE K, L AND SET SIGN= — SIGN
SET NI = (5 * I — I * 1)/2 + J
SET N2 = (5*K-K*K)/2 + L
IF NI >N2 EXCHANGE Ni, N2
SET N=(13*NI —NI*NI — 12)/2+ N2
SET RIEMANN = R (N) и= SIGN
RETURN
Решение 9.4. B 2-мерном пространстве (см. задачу 9.2) существует лишь одна независимая компонента тензора Римана, В качестве нее можно выбрать
R-atputf = ф = gm {Г\ф, О — Г%ф, ф + Г%аГ"фф — Г0фаГаф{>}. ГЛАВА 9
269'
Поскольку для заданной метрики g^ = г2, ?фф = T2Sin2O, то. в нуль не обращаются лишь символы Кристоффеля:
Г%ф = — sin О cos О, T% = ctgO
и, следовательно,
^ОфОф = ^2 Sin2 1Q1 = R<p&<pO = — = — RtfMqi-
Решение 9.5. В нуль не обращаются только символы Кристоффеля Tvuu = V и Tuuv = Tuvu = zr1, поэтому
n _ Dv _рг> s р» і р» ра р® ра _
*\тп)и —UVU — А ии, V 1 ви, иг1 то1 ии 1 иа1 Uv —
= 1-0 + 0-1=0.
Поскольку в 2-мерном пространстве тензор Римана имеет лишь одну независимую компоненту, то Ra?yo = 0 и пространство-время плоское (в задаче 6.1 это было доказано при помощи преобразования координат).
Решение 9.6. Из фиг. 20 видно, что два ортогональных бесконечно малых перемещения имеют величину adq> и (р -sT -+- a sin<p) dO, поэтому
ds2 = a2 dtp2 + (р+o sin ф)2 dO2,
или
g<H> = (&+ash^)2, ?фф = а2, ^ = ^ = 0.
Не обращающиеся в нуль символы Кристоффеля Г находим по-формулам.
T4W = — a-1 (b +a sin О) cos ф,
Фиг. 20. •270
РЕШЕНИЯ
В 2-мерном пространстве тензор Римана имеет лишь одну «езависимую компоненту. Выбрав в качестве нее /?ффф<ь по стандартной формуле получим
ЯфОфО = a sin ф (b -f a sin ф).
Решение 9.7.
а) В 1-мерном пространстве тензор Римана может иметь лишь •одну компоненту /?П11. Из симметрий тензора Римана следует, что эта компонента должна быть равна нулю.
б) В 2-мерном пространстве соотношения симметрии между компонентами тензора Римана в любой системе координат можно записать в виде
R<x$yo = (gayg?u — gaSg?v) f •
Но
R = RaKb = (g^? - ga?g?a)/ = (4-2)/ = 2/, поэтому в любой системе координат
Ra ?v« — у (gayg?e — ga&gfiy) R-
в) В 3-мерном пространстве тензор Римана имеет шесть независимых компонент Поскольку шесть независимых компонент тензора Риччи можно представить в виде шести независимых линейных комбинаций компонент тензора Римана, то, обратив эти комбинации, мы выразим независимые компоненты тензора Римана через компоненты тензора Риччи.
Чтобы тензор Римана имел правильные симметрии, должно выполняться соотношение
RyivKo — О. (gyixRva — gvkR\io — gnoRvk +gvoRvX) + b {gvxgvo ~ gfiogvl) R-Коэффициенты a и b мы найдем, свернув тензор Римана:
Rva = а (3Rvo — Rvo — Rvo + gvoR) + & (3gW ~ gvo) R г
откуда
а=1, ь = — ~.
Для проверки произведем еще одну свертку:
R = a(R + 3R) + b-?R = Ci-3)R.
Решение 9.8. Докажем соотношение для тензора произвольного ранга. Выберем локально плоскую систему координат так, чтобы в некоторой точке все символы Кристоффеля (но не их производные!) обращались в нуль. В этой точке
Yvx — r^YX, V — r'yv, у,--2Г% [V, X] ГЛАВА 10 271
И
= Та... p-¦ • ,VX + Ta...'". • -r?av, х + ... - Ta... P • -roav> н-.....
Следовательно,
2 (Та...P- • OitvH] = - Ta.. • - \.. + T0...?- • -Zyew+....
Поскольку это соотношение ковариантно, то оно выполняете» в любой системе координат.
Решение 9.9. Вторые производные скаляра можно представить в виде
S;a? = (S,a);?= S,a? — 5>or°ag;
это выражение симметрично по a и ?.
Чтобы исследовать третьи производные, воспользуемся (как к в задаче 9.8) локально плоскими координатами. В них
S;a?v = (S.a? — 50Г0ар),у = S,a?Y ~ Sar0OgtY ~ S;(a?) у, Из этого выражения и из задачи 9.8 мы также получаем
S;a[?v] = у S;c/?W Решение 9.10. Образуем тензор
