Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
/<Я Vvu) Ф (с, Vv (/и)) = /<?, Vv u> + <a, u)Vvf
(для g справедливы аналогичные формулы, в которых операторы V заменены операторами V). Однако если из соотношения для f вычесть соотношение для g, то член (а, и)(Vv-Vv)/, нарушающий линейность, обращается в нуль, поскольку все ковариантные-производные, действуя на скалярную функцию, приводят к одному и тому же результату, т. е. их можно рассматривать как производные по направлению. Следовательно, S^liv-тензор.
б) Мы не можем сравнивать уравнения геодезических для g и g непосредственно,_поскольку они содержат различные аффинные параметры тит. Если t — произвольная функция от т, то в результате замены переменных уравнение геодезических принимает вид
, гК dxt* dxv dx*- dH dt _ n dti + 1 nv dt dt dt dt2 dT —
Чтобы исключить dx/dt, умножим это уравнение на dxa/dt и„ антисимметризовав по a и К, получим
+ (Г Vv"a - TVuj-) и»иу = 0,
где ua = dx?ldt. Если мировые линии ua(t) являются геодезическими И ДЛЯ g, И ДЛЯ g, то это уравнение должно выполняться и при замене Г на Г. Вычитая из первого уравнения второе,, находим
(SaaSVv - o\SV) = о, ГЛАВА 9
263'
откуда
Oa(aSV)v-O\aS°V)v = 0. Свернув это тензорное уравнение по а и v, получим
SV=SVIV+^*.
Фв-ySV
|См. также Eisenhart L. P., Riemannian Geometry (Princeton University Press, 1962), Sec. 40.]1'
Решение 8.27, Вычисление коэффициентов связности в координатном репере приводит к громоздкому решению. Мы воспользуемся методом «1-форм вращения» (подробности см. в разделе 14.5 книги [1]). Выберем ортонормированиый репер следующим образом:
Л r^J
= ^dt,
й' =e?d г,
O№ = ?V sin О Зф.
Ключевыми формулами служат определение
do™ = — Д
и соотношение, задающее связь дифференциальных форм й с символами Кристоффеля,
н X H«
Запишем эти формулы в заданной метрике. Пусть точка означает d/dt, а штрих —д/дг:
do? =e°Vdr Adf = a'e-P&? Д S>\ (1)
Д = Дй', (2)
dw^ =evY dt Д S^-feY 9r Д 3? =
= е-аїйгДй*+еЛ'&?Ай*' (3)
d&4> = evYsind3/ Д Зф + е^у'sinOSir Д 3<p +
-j-eYcosO2Ь Д 5ф =e-®YSM Д йї + -f rVw' Д <5 » + ctg Oe-Vw^ Д ©ф. (4)
Имеется перевод: Эйаенхарт Л, П, Риманова геометрия,— М.І ИЛ, 1948, § 40, — Прим. перев. 264
РЕШЕНИЯ
Но
dfi>« = — Д ©& и
где подъем и опускание индексов производится при помощи тензора 11??. При а = / получаем
dw' =— ©< а Д Wr — ©' ^ Д ©^ — * Д ©Ф.
Сравнивая это соотношение с соотношением (1), можно высказать предположение о том, что
= ?>' а = OcV3M' +K1Gt', (5)
= /(,&*, (6>
= M1P^ =ZCsW"?, (7)
где K1, K2, K3 — функции, которые требуется найти. Аналогичным образом из соотношения (2) следует
Я>? +Kt&, (8) = —(9)
©'а =— ©Ф; =/СвЙФ. (Ю> Из соотношения (3) получаем
©??=Є~«у©&, (И).
&&А =e-?y'fi)ot (12)
Ю^.=—©^ = /(7©Ф, (13>
а из соотношения (4) —
©ф а =е-»уй>Ф, (14)
©ф л = e-?y'©<p, (15)
©фА =Ctg^av. (16)
Сравнивая соотношения (5)-(16), находим
р = a'e-?©' + ?e a©',
o? a = ^yfiOj ©' а = е-ау©Ф, ©' ^ = — e-?y' ©«,
©' А = — g-?y'O^,
©#a = — ctg 0 erl © Ф. ГЛАВА 9
265'
Но
г V .^=(0^,
поэтому от нуля отличны лишь коэффициенты связности
А л = _]>- - = —
ф ф Г ф * '
ctg fle-Y.
Решение 8.28. Примем за исходное соотношение 1 + Z = Дтл/Атд.
Чтобы доказать эквивалентность этого и другого способа измерения красного смещения, напомним, что 4-импульс р пропорцио-
Il = а'<?А
TUr7 Il Ti = ?<r<\
Г? * „ 1 — 1 РІН Il
г? „. 1 дг1) __fo г# 1
Ф ф = — ГФ <>u> = 1
Фиг. 18.
нален волновому вектору к —градиенту поверхностей постоянной фазы:
к = Vd.
Поскольку к —изотропный вектор, то
0 = k-k = k-Vfl = Vkfl,
где фаза О постоянна вдоль лучей. Рассмотрим два луча, отличающихся по фазе на ДФ. Наблюдатель А (фиг. 18) вычисляет 266
РЕШЕНИЯ
Ad следующим образом:
ДО = # (т + Дтл) — О (т) = (Дтл) Vim О = (Дтл) ил • к. Наблюдатель В вычисляет ту же разность фаз Ad иначе:
Дд = (Atj3) Uj0-к
(волновой вектор к взят в точке В). Поскольку наблюдатели А и В получают одну и ту же разность фаз ДО, то
Ax4 ^ (и-IQij^ (и-р)д Дтв ~~ (и - к)л (и • р)/
Тем самым эквивалентность обоих способов измерения красного» смещения доказана. ГЛАВА JO
Решение 9.1. Если координатный «прямоугольник» построен из геодезических, то, проведя геодезическую диагональ, его можно разбить на два геодезических треугольника. Угловой избыток треугольника, образованного дугами больших кругов, равен л • [площадь/а2]. Поскольку сумма внутренних углов координатного «прямоугольника» равна сумме внутренних углов двух треугольников, то угловой избыток координатного «прямоугольника» равен л ¦ [площадь/а2].
Координатный «прямоугольник» из параллелей (линий широты) зд меридианов (линий долготы) удобнее всего строитьвблизи экватора (фиг. 19). Угловой избыток там равен нулю и AC = BD, то
CD - AB = аДф - а Дф sin (j - Дф) аДф -І (ДО)2, шоэтому _ _
AC 2 Y 2 да
В обоих примерах отклонение от плоскости измеряется кривизной •сферы 1/а2.
Решение 9.2. Антисимметричность тензора Римана Z?a?Ye по индексам (a?) и (уд) означает, что существует М = п(п—\)/2 ¦способов выбора нетривиальных пар (a?) и аналогично M способов выбора нетривиальных пар (уб). Поскольку тензор Римана 268
