Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
d. [Mu0) = — dEm„. (11)
Поскольку энергия излучается в виде фотонов, то
dEH31I = dP„3a, (12)
а в силу сохранения импульса
dPm = dP, (13)
где dP — изменение импульса ракеты. Объединяя соотношения (11)-(13), получаем
d (Mu0) = — dP = — d (Mux), (dM)u° + Mdu0 = — (dM) Ux-M dux, dM/M = — d(u0 + ux)/(u° + ux),
откуда
M = M0/(u0 + ux) = Mtfrex (14)
[чтобы получить u°(x) и Ux (х), мы воспользовались соотношениями (6)].
Из п. «б» следует, что для половины путешествия е?х = 30 ООО. Таким образом, M*/, = M0/30000 и
Мконечн = AV(30 ООО)2 ** IO--8M0.
Решение 2.14. В циклотроне ускоряющий потенциал о фиксированной частотой приложен к зазору между дуантами. Частота подобрана так, чтобы, когда электрон достигает зазора, потенциал всегда имел нужное направление, т. е. она равна циклотронной частоте (O0 = еВ/тс. Существование максимальной энергии, до которой циклотрон может ускорять электроны, обусловлено тем, что в действительности электроны движутся по окружностям с «синхротронной частотой» <а = еВ/уж = а>(/п/Е (Е — энергия электрона) и, когда электрон разгоняется до релятивистских скоростей, происходит расфазировка: между переменной синхротронной и постоянной циклотронной частотой набегает заметная разность фаз. Наконец, наступает такой момент, когда электрон достигает зазора между дуантами с рассогласованием по фазе с ускоряющим потенциалом на 90° и процесс ускорения обрывается. Количественно это явление можно описать следующим образом. Пусть а —фаза ускоряющего потенциала в момент, когда электрон достигает зазора между дуантами. Проходя зазор, электрон приобретает энергию Vcosa, где V — максимальное значение ускоряющего потенциала в электронвольтах. За dN циклов элек- 168
РЕШЕНИЯ
трон приобретает энергию, удовлетворяющую уравнению
А (энергия электрона) dE , . ...
dN = ШІШ "=2V cos <Ч> - ffl^
(множитель 2 в правой части связан с тем, что за каждый цикл электрон проходит щель дважды). Фаза <р означает угловое расстояние, пройденное электроном,
Ф = J <o dt = <o0 J (т/Б) dt
и
dE
dt =Ir2^cos
<o,
0 J -g- dt — a0t
U
dE*
V
nE
со,
JM
df
- = a cos
со,
где а = 2Ую0т/я. Дифференцируя, получаем
г <
(?2)
Л»
•a sin
Минус перед квадратным корнем выбран потому, что синус заведомо отрицателен.
Найдем первый интеграл этого уравнения. Пусть qssdE2/dt. Тогда d2E2/dt2 = qdq/dE2, и наше дифференциальное уравнение преобразуется к виду
Новое уравнение можно проинтегрировать с начальным условием q = a при Е = т (т. е. при / = 0):
(,a2-q2y/'=(?>0(E-m)2.
Энергия электрона возрастает до тех пор, пока q не обратится в нуль. При q = О
?Макс = m + а/(Off== т + (2 Vm/яуь.
Решение 2.15. Если новое поле F не равно тождественно нулю, то при некоторой 4-скорости и произведение а-и должно быть отлично от нуля. Но это противоречит требованию ортогональности 4-скорости и 4-ускорения: а • u = 4 d(u • u)jdx = О, ГЛАВА З
Решение 3.1. Наиболее изящное решение этой задачи мы получим, изобразив двумерное пространство-время.
Прежде всего расположим систему координат так, чтобы оба события оказались на оси х и первое событие совместилось с точкой x = t = 0.
¦ / / /в / •
M /
А/ / / / / / —Дос—
а
t
V /
/
в
/
/
Ax
6
t
V T / «/ у /^x
А/
/
/
/
/
/
Фиг. 9.
На фиг. 9, а события А и В разделены пространственноподоб-ным интервалом (Дх, At), а мировой линии светового луча соот- ,70
РЕШЕНИЯ
ветствует пунктирная биссектриса. Ясно, что после преобразования JlopeHua, переводящего исходную систему координат (t, х) в систему координат (t', х') (фиг. 9, б), события А и В станут одновременными. (Величина лоренцевского буста $ = At/Ах, Arth(tg 4), где угол, указанный на фиг. 9, б, — параметр быстроты.) Поскольку 0сь /' при помощи преобразования Лоренца нельзя вывести за световой конус (опустить ниже конуса), события А и В не могут происходить в одной и той же точке пространства.
На фиг. 9, в события А и В разделены времениподобным интер-вдлом. На фиг. 9, г показано, каким преобразованием Лоренца исходную систему координат t, х можно перевести в систему координат t', х', в которой события А и В будут происходить в одной и той же точке пространства. Величина буста для этого должна бріть равна а = Ах/At. Поскольку ось х' невозможно вывести за световой конус (поднять выше конуса), то события Л и В не могут бріть одновременными.
Решение 3.2. Линейно-независимы, например, следующие 4 изотропных вектора:
ег + Є/, ег — е,, е^+е,, е^ + е,.
Предположим, что существуют 4 взаимно ортогональных изотроп-нріх вектора А, В, С, D. Поскольку они линейно-независимы, то лцобой вектор можно представить в виде их линейной комбинации:
. V = aA + 6B+cC + dD.
HP это означает, что длина любого вектора равна нулю, по-скрльку векторы А, В, С, D изотропны и по предположению взаимно ортогональны. Следовательно, 4 таких вектора не могут существовать.
Решение 3.3. Не ограничивая общности, выберем систему координат так, чтобы изотропный вектор V можно было предста-BHfb в виде \ = ex + et. Произвольный вектор S допускает разложение
