Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь 2 случая.
Случай 1. Вектор ~А не параллелен вектору В, A2 Ф 0 и( BV=O.
В этом случае из соотношения (7) следует
(d + Q-Z))2 = (l +Q2) (1 +D2). Подставляя Q = А + ІВ, получаем два вещественных уравнения.
(d + A ¦ D)2 - (В • D)2 = (1 + А8 - ?2) (1 + D2), (8а)
(d + 1-D) В-D = I-B(l+D2). (86),
Решая систему уравнений (8) относительно d + А ¦ D и В •?>, находим^
(d +1- D)2 = у (1 + D2) {[(1 + А'8 - В2)2 + 4 (А- ?)2]Vs +
+ (l+^-?2)}, (9а).
(?.D)2 = y(l +D2) {[(1 + А2— В2)2 + 4 (Л-B)2]v» — .
~11 + Л2-?2)]. (96), 156
РЕШЕНИЯ
Уравнения (9) не определяют DudB явном виде, поскольку их правые части содержат D2. Один из возможных способов их решения состоит в том, чтобы положить J5 = 6?, где b — неопределенный коэффициент. При такой подстановке уравнение (96) преобразуется к виду
<2oa?4)/( 1 + Ь2B2) = [(1 + А2- В2)2 + 4 (A¦ ?)2]'/a — (1 +A2-B2). (10)
Докажем, что всегда существует вещественное значение Ь, удовлетворяющее уравнению (10). Для этого заметим, что правая часть уравнения (10) больше или равна нулю (очевидно) и, кроме того, меньше 2В2. Последнее утверждение следует из того, что
4 (Л-В)2<4A2B2 =
= (1 + А2+ В2)2- (1 + Л2 - ?2)2 - 4?2 < <(1+А2+В2)2-(I+A2-В2)2.
Поскольку при b2, изменяющемся от 0 до оо, левая часть уравнения (10) принимает значения от 0 до 2В2, то всегда найдется вещественная постоянная Ь, при которой выполняется уравнение (10). Итак, это значение Ь удовлетворяет уравнению (96), и, следовательно, уравнение (9а) (при D = bB и подходящим образом выбранном знаке Ъ) определяет положительное значение d. Следовательно, преобразование Лоренца Q в рассматриваемом случае представимо в виде произведения 3 бустов.
Случай 2. Векторы ? и В параллельны (в частности, Л2 = О или S2 = O).
В этом случае соотношение (7) становится скалярным, поскольку все векторы коллинеарны:
d = (1+Q2)1''(I+D2Y^-QD. (11)
Пусть
Of = Arsh Q = oc + /?.
Чтобы величина г|> была однозначной, наложим ограничение — я/2 < <?s^jT/2. Пусть, кроме того,
(P = ArshD (вещественная величина).
Соотношение (11), записанное в ф и ф, преобразуется к виду
d = ch (і|з — ф) = ch (а — ф) cos ? — і sh (а — ф) sin ?.
Если ? = 0, то задача решена (Q —чистый буст). Если же ?=H=0, то, чтобы величина d была вещественной, необходимо положить Ф = а (тем самым зафиксировать значение D), т. е. d = cos?. ГЛАВА 1
157;
При ? Ф n/2 величина d положительна и Q разлагается в произведение трех бустов. При ? = JT/2 величина d обращается в нуль и преобразование Лоренца Q не представимо в виде произведения трех бустов.
Случай ? = JT/2 соответствует Q = sh (а + т/2) = і ch а, поэтому вектор Q чисто мнимый и Q2 ^ — 1. В этом случае преобразование Лоренца можно назвать «винтовым поворотом на 180°»: оно представляет собой произведение поворота на 180° и буста с быстротой 2а. (В частности, чистый поворот на 180° неразложим в произведении трех бустов.)
Винтовой поворот на 180° представим в виде произведения четырех бустов, поскольку если С —буст и Q-ЇВ с ?2Ssl, то преобразование Лоренца
R = Cl-C = і (.В2 - I)''. 5 + 1(1+ С2)1В-~В X С
не является винтовым поворотом на 180°, за исключением того случая, когда вектор С параллелен вектору В. Следовательно, R — произведение трех бустов, a Q = R-(— С) — произведение четырех бустов. (Это решение предложено Д. М. Эрдли.) ГЛАВА 2
Решение 2.1. Из закона сохранения 4-импульса следует, чта
Рг "j" Py = Pe "Ь Pv
(Индекс V относится к фотону, штрихами отмечены величины после рассеяния.) Поскольку 4-импульс электрона после рассея« ния не представляет для нас интереса, воспользуемся общеизвестным приемом и исключим его:
(Pe + Py- ^v)2 = Р«' = — ml,
или, поскольку Py = O,
— ml + 2Ре ¦ Pv — 2Ре • Py — 2PY • Py = — ml.
В лабораторной системе отсчета
Pе = (те, 0),
Py = (ЛА, h/кеї), ?(—единичный 3-вектор в направлении налетающего фотона,
Py = (ftА', Л/А,'е0)е0—единичный 3-вектор в направлении испущенного фотона,
поэтому
т.Л , mJi , Ifi aa __„ п л —h + + --XVcos^==0-
Умножая на AA,', получаем
к' -K = (h/me) (1 — cos О).
Решение 2.2.
а) Пусть 7 означает фотон, а штрихами отмечены величин» после рассеяния. Прежде всего исключим из закона сохранения. 4-импульс P':
(Р; + P' - Py)2 = P2 = - т\ Py р;=р (Ру-Р^). Ясно, что максимальная передача энергии происходит при угле» рассеяния 180°. При этом угле рассеяния и | PY| = .Ev последнее; соотношение преобразуется к виду
- EyEfy + PyK---E(Ey-E1y) +P-(Py - P^
-2ЕуЕ'у = -Е(Еу-Еу)+Р (— Ey- Ey), ГЛАВА 2
15Э
откуда
F' ?у(?+р> Е
Щ+Е-Р ^ \+тЩЕЕу '
Второе выражение для Е'у мы получим, используя приближенное соотношение
P=* (Ei- m2)V. т2/Е,
соответствующее принятому нами предположению о том, что Е^> >me.
б) При температуре 3 К энергия фотона имеет порядок kTf=a я« З x Ю-4 эВ. Подставляя в выведенное нами уравнение эту величину, а таже /лпротоа = 0,938x109 эВ, E= IO20 эВ, находим Ey^ ^lOie эВ.
Решение 2.3. По закону сохранения 4-импульса должно было бы выполняться равенство
