Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
1) Повороты вокруг оси г:
y'^y+xft,
/(*', у', z', t')-f(x, у, 2, t) = ft[-yox+xdy]f. (2) 148
РЕШЕНИЯ
Следовательно, поскольку
f(x', у', г', t')^(l + u,0/2)f(x, у, г, О,
то
Ji = — 2» (хду — удх). (3)
Операторы Jy, Jx получаются из соотношения (3) при циклической перестановке индексов.
2) Бусты в направлении оси г:
z' ^z- vt, f ^it- vx,
У'= У, Z' =z,
/(*', У', Z', t')-f(x, у, z, t) = [-td,-zdt]vf(x, у, г, ?) ГЛАВА 1
149;
поэтому
К* = 21(*Тг + гж) И Т- Д-
(4)
3) Соотношения (3) и (4) позволяют вычислить обычным способом коммутаторы операторов. Например,
[Jx, Jy] = -4 [удг - гду, гдх - хдг] = 4 (хду - удх) = 2iJ2 (5)
(аналогичным образом можно найти и все остальные коммутаторы).
Волна.
Мировая линия нижней крышки цилиндра.
Мировая линия верхней крышки цилиндра
Расстояние по вертикали
Фиг. 7.
4) Представление группы Лоренца определяется заданием явного вида матриц, соответствующих генераторам. Спиновые матрицы Паули
3
и т. д. 150
РЕШЕНИЯ
можно сопоставить операторам J и К по следующему правилу:
J -+о, К -*¦ io.
Все перестановочные соотношения для J и ІК при этом не нарушаются, поскольку [(Tje, os] = 2iat и т. д. Матрицы, соответствующие конечным преобразованиям L, мы найдем, заметив, что, например, Jt определяется соотношением
dL
do 0-0 — 2 '
в силу чего
L (Ф) = ехр (/0/,/2).
Произвольное конечное преобразование L содержит 6 параметров. В общем случае параметры поворота О* (рассматриваемые как 3-вектор) отличны от физического угла поворота О, а параметры буста V* отличны от физической относительной скорости о. Зги подробности несущественны: группа Лоренца полностью •определяется своими генераторами У и /С, а ее параметризацию можно варьировать в широких пределах. Бесконечно малое преобразование, соответствующее произвольному конечному преобразованию L, имеет вид
8L = і ($*XJX + nJy + $*zJz + v*xKx + VtKy + vtK,)/2 = = (i$*-v*)o/2. Положим по определению
?==(/0* -v*)/2,
q2 == q. q = — (— - 2/0* • v* + V2).
{Заметим, что чистые бусты соответствуют вещественным <7, а чистые повороты — чисто мнимым q.) Итак, общее конечное преобразование представимо в виде
oo
L (6, V) = exp (q ¦ а) = ? (q ¦ а)»/«! =
B=O
= S q"/n\ + |] (q-a) q"-l/n\ =
в=0,2. 4,... в = 1,3, 5, ...
= ch q+ (q -a/q) shq.
Здесь мы воспользовались соотношением
(q • а) - (q • о) = qtq, (а,, о,) = <7*7,0" = <7*. ГЛАВА 1
151;
Решение 1.26. Громоздкое решение задачи состоит в том, чтобы перемножить матрицы 4x4, а произведение разложить на повороты и бусты. Более простое решение получится, если воспользоваться построенным в задаче 1.25 представлением группы Лоренца комплексными матрицами 2x2 с определителем, равным 1. Чистому бусту со скоростью V1 в этом представлении соответствует матрица
L (? = ехр (— Vtn1 ¦ а/2) = ch К/2) + (/?• а) sh (of/2), (la)
где /T1-единичный вектор, задающий направление буста, а о| — параметр, характеризующий величину буста. Чистому повороту О соответствует матрица
L (?) = ехр (ift*n- а/2) = cos (ft*/2) - і (п¦ a) sin (ft*/2), (16)
где п задает ось вращения, а О* характеризует величину поворота.
Для чистых бустов, производимых в одном и том же направлении, величина о* в действительности является параметром быстроты: (V* = Arth v), поскольку аддитивна. Например,
L(V1) L (V2) ^e-0IWe-W2 = e~lvt +vPa**2.
Аналогичным образом можно убедиться в том, что для чистых поворотов, производимых в одном и том же направлении, параметр ft* совпадает с абсолютной величиной угла поворота ft:
ft*= |3|.
Пользуясь формулами (Ia) и (16), разрешим соотношение
L(V1)L(V2) = L(On)L(V3) (2)
относительно Ф, п, V3, выразив эти параметры через U1 и V2. При умножении матриц, стоящих в правой части соотношения (2), удобно воспользоваться тождеством
(A-O)(B-O) = А- В +і (IxB) ¦ д.
Поскольку а-матрицы и единичная матрица 2x2 линейно независимы, в соотношении (2) можно приравнять отдельно вещественные и мнимые части коэффициентов при единичной матрице и при сг-матрицах. Проделав это, мы получим 2 скалярных и 2 векторных уравнения:
Ch (1 Vt) Ch (1 Vt) + Sh (4- Of) Sh (1 Vt) (H1 -п2) =
= ch (i- vt) COS (і- G*), (За) 152
РЕШЕНИЯ
sin (у <>•) sh (j vt) (n • n3) = 0, (36)
ch (у ofj sh (у vt) n2 + sh (y vt) ch (y vt) nx = = cos (y b*) sh (y vt) n3 + sin (I o*) sh (1 vt) (nX Ti3), , (Зв)
sh (j vt) sh ^y vt) (H1Xn2) = — sin (y ft*) ch (y vt) п. (3r)
В общем случае уравнению (36) удовлетворяет
л-/Z3==O, (4)
т. е. результирующий поворот происходит вокруг оси, ортогональной направлению результирующего буста.
Пусть у —угол между векторами M1 и п2. Умножая скалярно левую и правую часть уравнения (Зг) на вектор п, получаем
-sh(yo*)sh(yO*)sinv
tg (т ** = M V /1 \ ' V /і V /1 V- (5) w > Ch ^ ofj Ch (у Vtj +cos Y Sh l±v*j sh(-±-®fJ
Заметим, что угол поворота ft (равный введенному выше параметру G*) может принимать все значения OssGs^^n, за исключением G = H, и что Hpnn1 = Zi2(Y = O) угол 0 = 0, и, как и следовало ожидать, нескомпенсированный поворот отсутствует.
