Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
слабые ударные волны. Если рассматривать волновой профиль как график
зависимости избыточной скорости сигнала и от X = х -¦ c0t, то можно
описать его искажение следующим образом (рис. 31): сдвиг происходит все
время с единичной скоростью при условии, что там, где необходимо
сохранить однозначность волнового профиля, вводится вертикальный разрыв,
отсекающий участки равной площади с каждой стороны от него. На рис. 43
показано искажение волнового профиля за время t, рассчитанное этим
способом; как и на рис. 31, каждое значение v находится в точке,
смещенной на расстояние vt вправо; здесь, кроме того, изображены
заштрихованные участки равной площади, которые отбрасываются при введении
разрыва АВ.
Полезно было бы узнать, какая именно прямая (обозначим ее CD),
проведенная на исходном волновом профиле, будет переведена искажением
сдвига, имеющим единичную скорость в эту вертикальную прямую линию АВ
спустя время t. Ответ на этот вопрос таков: во-первых, CD должна быть
прямой, для которой величина, обратная коэффициенту наклона, равна - t,
потому что единичный сдвиг, который увеличивает подобную величину для
любой линии с единичной скоростью, Должен увеличить ее до нуля за время
t; во-вторых, площади сегментов, лежащих между CD и кривой по обе стороны
от CD, должны быть равны, так как обе эти площади остаются неизменными в
процессе сдвига, переводящего их в равные сегменты, лежащие между АВ и
искаженным волновым профилем.
214
2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. 44. Применение правила Уизема к волновому профилю, состоящему из
единичного импульса сжатия; на исходном волновом профиле (рис. а) четыре
линии, соответствующие различным значениям -t (величины, обратной
коэффициенту угла наклона), отсекающие участки равной площади, определяют
разрывные изменения v на ударной волне в эти четыре различных момента
времени t, когда искажения волнового профиля выглядят, как на рис. б.
Существование такой хорды CD на исходном волновом профиле,
удовлетворяющей этим двум условиям (величина, обратная коэффициенту
наклона, есть -t, а площади упомянутых сегментов равны), служит гарантией
того, что спустя время t волновой профиль будет содержать ударную волну,
в которой v увеличивается скачком от своего значения в точке D до своего
значения в точке С.
Эти условия дают правило Уизема, гласящее, что определенное простое
построение, выполненное на исходном волновом профиле, полностью
определяет будущую историю образования, роста и затухания слабого скачка
внутри волны в ходе ее развития. Для каждого из последовательных значений
t, больших, чем время формирования ударной волны, нужно провести такую
хорду, что величина, обратная ее коэффициенту наклона, равна -t, а
площади двух сегментов, лежащих между этой хордой и исходным профилем по
обе стороны от нее, равны между собой; тогда ординаты концов построенной
хорды будут указывать значения U, между которыми эта величина в ударной
волне в момент времени t изменится скачком.
На рис. 44, а показано такое построение, выполненное на исходном волновом
профиле, состоящем из единичного импульса сжатия; здесь и избыточное
давление, и избыточная скорость сигнала возрастают до положительного
максимума, а затем снова убывают до нуля. Подобная волна создается,
например, поршнем, вдвигаемым в жидкость на определенное расстояние
2,11. Простые волны, содержащие слабые ударные волны
215
и опять останавливаемым. Каждая из^диагональных прямых с отрицательным
наклоном, выделяющая равновеликие сегменты по обе стороны от нее,
указывает, какое скачкообразное изменение v должно произойти спустя
время, равное величине, обратной коэффициенту ее наклона с отрицательным
знаком. Обратите внимание, как ударная волна, имеющая нулевую
интенсивность в момент ее формирования t0 (соответствующий волновой
профиль показан на рис. 31), вскоре, однако, становится существенным
разрывом, на котором v меняется между своими значениями в точках А и В.
Ударная волна достигает максимальной интенсивности (чему соответствует
переход v от С к D) в более позднее время, равное величине, обратной
коэффициенту наклона CD, взятой со знаком минус, а затем начинает
затухать|до более слабого разрыва EF; асимптотическое поведение ударной
волны спустя большое время t определяется хордой GH с очень малым
наклоном. Для этих четырех хорд •соответствующие волновые профили
показаны на рис. 44, в: видно, как ударная волна, первоначально
сформировавшаяся внутри импульса сжатия, начинает продвигаться к его
фронту в силу того, что ее скорость превосходит скорость сигнала перед
ней, пока эта волна не превратится в головную ударную волну EF,
движущуюся в невозмущенную жидкость впереди остальной части импульса.
Асимптотическое поведение этой головной ударной волны определяется
приравниванием площади под кривой GH (рис. 44, а), которая в пределе есть
полная площадь Q под исходным волновым профилем, к площади под хордой GH,
которая в точности равна
