Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2.11. Простые волны, содержащие слабые ударные волны
211
Рис. 42. Поскольку закон сохранения массы должен выполняться как для
распределения плотности, выведенного из теории простых волн, так и для
истинного распределения плотности при наличии ударной волны,
соответствующий разрыв должен быть помещен туда, где его введение не
изменит площади между графиком р и осью х.
использует закон сохранения массы непосредственно для определения
положения ударной волны в любой момент времени независимо от каких-либо
вычислений ее предшествующих положений.
Эта улучшенная процедура исходит из того факта, что любое решение в виде
простой волны, включая даже невозможное, вроде показанного на рис. 32,
является точным решением уравнений движения, к которым относится
уравнение сохранения массы, или уравнение неразрывности. Другими словами,
такое решение удовлетворяет закону сохранения полной массы жидкости на
единицу площади поперечного сечения j рdx.
Плотность р в простой волне однозначно связана со скоростью жидкости и
или с избыточной скоростью сигнала v (разд. 2.9), и поэтому, когда любой
волновой профиль, аналогичный изображенному на рис. 32, определяется по
правилам простого сдвигового искажения, поясненным на рис. 31, легко
получить соответствующее распределение плотности как функцию от х.
На рис. 42 показано такое распределение плотности, выведенное для
"невозможного" волнового профиля, приведенного на рис. 32, но с
необходимостью удовлетворяющего условию,
что интеграл j рdx (площадь между кривой и осью х) описывает неизменную
полную массу жидкости на единицу площади поперечного сечения. С другой
стороны, реальный волновой профиль, содержащий разрыв, должен
удовлетворять тому же самому условию сохранения массы. Это позволяет
удобным
14*
212
2. Одномерные ь лны в жидкостях
и единственным образом фиксировать положение разрыва, как именно то,
которое не вызывает изменения интеграла j рdx.
На рис. 42 показано, как легко на глаз провести вертикальный отрезок,
который сохраняет неизменной площадь между кривой и осью х, потому что
заштрихованные участки, заключенные между этим отрезком и кривой, лежат
по разные стороны от него и имеют одинаковую площадь.
Дополнительное упрощение при практическом использовании этой процедуры
связано с тем, что диапазоны изменения плотности внутри слабой ударной
волны таковы, что характерное для простой волны соотношение между
плотностью р и добавочной скоростью сигнала v можно с достаточной
степенью точности считать линейным в этих диапазонах. Это означает, что
построение, выполненное на графике зависимости р от х (рис. 42), можно
непосредственно применять к графику зависимости v от X (рис. 32), что с
хорошей степенью точности дает идентичный результат (приводя фактически к
выбору отрезка DFE как правильного положения разрыва на рис. 32), так как
линейное преобразование ординаты (переход от р к у) не может изменить
равенства площадей двух заштрихованных сегментов на рис. 42.
Хотя здесь опущен полный анализ причин, по которым введение этого
дополнительного упрощения лишь незначительно ухудшает точность теории,
можно отметить, что слабая ударная волна даже интенсивности 0,5 (т. е. на
верхнем пределе) вызывает в атмосферном воздухе изменение избыточной
скорости сигнала v, равное 0,359 са, и что отношение плотностей при этом
равно рь/ра = 1,333, что только на 2,6% больше получаемого в
предположении о линейной зависимости плотности от v; это максимальная
ошибка, выраженная в процентах, для Р ^ 0,5. Кроме того, идея о том, что
результат построения разрыва по участкам равной площади можно
непосредственно применить к "невозможному" волновому профилю, заданному
зависимостью от X, допускает проверку в особом случае (рис. 35)
импульсного движения поршня в жидкость. Очевидно, это построение помещает
разрыв точно в центре Z-образной фигуры на рис. 35, откуда следует, что
избыточная скорость ударной волны U - с0 равна половине избыточной
скорости сигнала щ + сх - с0 = yi> наблюдаемой за ударной волной. Точные
значения (U с0)/(щ + сг -с0), вычисленные по уравнениям (205) и (206),
лежат между 0,500 и 0,543 при 0 < р < 0,5; это подтверждает, что
результаты теории "слабых ударных волн" являются хорошим приближением в
этом диапазоне интенсивностей.
2.11. Простые волны, содержащие слабые ударные волны
213
Рис. 43. Общее построение для относительно слабой ударной волны АВ,
сформировавшейся в ходе искажения волнового профиля (правило Уизема).
Штриховые линии показывают отброшенные равновеликие участки волнового
профиля, полученного в результате сдвига в течение времени t. В течение
этого времени прямая CD, обратная величина коэффициента наклона которой
равна -t, отсекающая равновеликие сегменты на исходном волновом профиле,
превращается в вертикальную прямую АВ.
Из предыдущих рассуждений вытекает очень простая процедура для
определения искажения волнового профиля для простых волн, содержащих
