Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
dp/dt-{- u* Vp-fpV'U = 0. (3)
Два первых члена в уравнении (3) дают полную скорость изменения р для
этого элемента. Таким образом, d-ивергенция V-и поля скорости
определяется уравнением (3) как скорость изменения объема элемента
жидкости, движущейся в данном поло скорости, деленная на этот объем;
иначе говоря (поскольку масса элемента сохраняется), дивергенция скорости
равняется скорости изменения плотности, деленной на плотность и взятой со
знаком минус. В то же время возможна и другая интерпретация уравнения
(3), при которой второй и третий члены объединяются в виде V* (ри) и
которая будет использована ниже (разд. 1.10).
Линеаризуем выписанные уравнения, считая малыми величинами все отклонения
от состояния, в котором жидкость покоится и имеет постоянную плотность
р0. При отсутствии внешних сил это означает также, что давление равно
постоянной величине, например р0.
Пренебрегая произведениями малых величин в уравнениях (2) и (3), приходим
к линеаризованным уравнениям количества движения
Ро du/dt = - VP (4)
1.1, Волновое уравнение
15-
и неразрывности
dp/dt - - PoV-u
(5)
При выводе этих уравнений отбрасывается член u-yu в уравнении (2), как
уже обсуждалось выше, а также член u-Vp в уравнении (3); оба эти члена
содержат произведения малых скоростей на малые градиенты. Кроме того,
множитель р в одном из членов каждого уравнения заменяется на р0 с
точностью до произведения малой величины р - р0 на другую малую величину
(du/dt или V-u). В результате получается, что локальные скорости
изменения скорости и и плотности р прямо пропорциональны градиенту
давления и дивергенции скорости соответственно.
Величиной, которая в линейной теории ведет себя чрезвычайно просто,
является завихренность
т. е. ротор поля скорости (относительно общих свойств завихренности см.
любой курс гидродинамики). В самом деле, из-уравнения (4) вытекает, что
так как rot Vp равен нулю. Таким образом, поле завихренности не зависит
от времени: в приближении линейной теории звука завихренность "остается
неподвижной", хотя многие другие величины могут распространяться.
Такое заключение может удивить читателя, знакомого с теоремой
Гельмгольца, утверждающей, что "вихревые линии движутся вместе с
жидкостью". Однако в линейной теории все подобные изменения,
обусловленные конвекцией, считаются пренебрежимо малыми, и это вполне
разумно в теории звука, в которой принимается, что изменения других
величин (таких, как давление) распространяются на сотни метров в секунду,
по сравнению с чем конвекция при относительно малых скоростях течения
представляется пренебрежимо малой.
Вихревая часть поля скорости, которая "индуцируется" полем завихренности
й, не должна, согласно уравнению (7), зависеть от времени. Остальная
часть поля скорости является безвихревой и, таким образом, может быть
представлена как градиент Уф от потенциала скорости ф. Только в этой
части поля возникают флуктуации, вызванные распространением звука.
Учитывая сказанное, положим
Q = V X и,
(6)
dil/dt = О,
(7)
и = Уф,
(8)
16
1 Звуковые волны
так что и рассматривается как безвихревая часть поля скорости (которая
остается после вычитания скоростей, индуцируемых стационарным полем
завихренности). В рамках линейной теории взаимодействие этого
безвихревого движущегося поля скорости со стационарным полем
завихренности не проявляется. Действительное распространение звуковых
полей через вихревые линии, которые на самом деле движутся вместе с
жидкостью, будет исследовано ниже (разд. 4.6); если скорости течения
много меньше скорости звука, то можно показать, что это взаимодействие
приводит самое большее к весьма медленным изменениям.
Из уравнений (4) и (8) следует, что
Р - Ро = - Podq/dt, (9)
поскольку градиенты от обеих частей уравнения (9) всюду равны и поскольку
обе эти части обращаются в нуль в невозмущенной области течения, если
потенциал скорости, как обычно, берется как решение уравнения (8), равное
нулю в этой области. Уравнение (9) отличается от известного уравнения
Бернулли для нестационарных безвихревых течений отсутствием в правой
части члена -(1/2)р0 (Уф)2 (которым в линейной теории пренебрегают).
Из уравнений (5) и (8) получаем выражение для скорости изменения
плотности!
dp/dt =У -1р0У2ф (Ю)
через лапласиан У2ф, но дальнейшие преобразования уравнений (9) и (10)
провести нельзя до тех пор, пока не будут использованы свойства
сжимаемости жидкости, приводящие к явному виду связи между изменениями
давления и плотности. Характер такой связи будет обсуждаться ниже (разд.
1.2), но здесь мы просто предположим наличие некоторой функциональной
зависимости: р = р (р). Линеаризуя ее посредством разложения в ряд
Тейлора в окрестности р = р0
Р = P (Ро) + (р -ГРо)р' (Ро) +!• • • (11)
и пренебрегая всеми членами, содержащими квадраты и более высокие степени
р - р0, получаем
dp/dt = р' (р0) dp/dt. (12)
Отсюда, подставляя в левую часть р из уравнения (9), а в правую часть
