Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
звуковых возмущений изотропно.
Напротив, большинство волновых движений, обусловленных внешней
возвращающей силой, анизотропно, и именно поэтому •столь важна теория
анизотропного распространения волн, изложенная в гл. 4. Волны на
горизонтальной поверхности воды являются исключением, поскольку их
распространение в гори-
12
Проло*
зонтальной плоскости носит двумерный характер, и очевидно, что действие
вертикальной внешней силы, такой, как сила тяжести, одинаково для всех
направлений в горизонтальной плоскости. G другой стороны, в случае, когда
источником таких волн является движущийся корабль, они становятся по
существу анизотропными в силу эффекта Допплера (разд. 4.12).
Те обширные разделы гидродинамики, которые связаны с исследованием
свойств волн в жидкости, относятся к важным областям современных
исследований. Они находят применение, например, в современной авиационной
технике и других отраслях техники, где исследование шума очень важно, а
также в вопросах кораблестроения и строительства сооружений береговой
защиты, где важен учет волн на поверхности моря.
Указанные области исследования включают в себя, кроме того, изучение
приливных и поверхностных волн в океанах, морях и эстуариях, а также
многообразных океанических течений волновой природы. Сюда входит анализ
некоторых важных явлений распространения возмущений в атмосфере, от
мелкомасштабной "турбулентности чистого воздуха" до крупномасштабных
волнообразных движений воздушных масс, а также многих особенностей
взаимодействия воздуха и моря. Другой областью активных геофизических
исследований служит распространение волн в ионосфере и в жидком ядре
Земли; при астрофизических наблюдениях также постоянно обнаруживаются
волнообразные движения газа, весьма подходящие для анализа подобными
методами. Предлагаемая книга, построенная как обстоятельное введение в
теорию волн в жидкости, имеет своей целью подготовить читателя для работы
в любой из этих областей исследований, давая ему прочный фундамент
основных идей, при помощи которых можно легко освоить специальную
литературу в каждой из таких областей.
1. Звуковые волны
1.1. Волновое уравнение
Как было отмечено в прологе, распространение звуковых волн в жидкости
определяется балансом между ее сжимаемостью и инерцией. Линейная теория
распространения таких волн излагается в этой главе.
При использовании линейной теории для любого типа волн подразумевается,
что возмущения настолько слабы, что в уравнениях движения их можно
рассматривать как малые величины, произведениями которых можно
пренебречь. Такие произведения малых величин входят, например, в
известное выражение для ускорения элемента жидкости
du/dt -f u* Vu, (1)
где и - поле вектора скорости. В этом выражении (которое играет важную
роль в тех случаях, когда важны силы инерции, как это имеет место
практически для всех волн в жидкости) линейный член du/dt представляет
собой локальную скорость изменения и в фиксированной точке, в то время
как нелинейный член u-Vu указывает, как меняется скорость элемента
вследствие изменения его положения в пространстве. Эта "конвективная
скорость изменения" скорости и содержит произведения составляющих самой
скорости и ее пространственных градиентов и поэтому не учитывается в
линейной теории. Таким образом, в этой главе мы предполагаем, что
возмущения являются достаточно малыми и поэтому можно пренебречь как
нелинейными вкладами в инерционные члены, так и нелинейными членами в
выражениях для восстанавливающих сил (в данном случае связанных со
сжимаемостью). Исследование вопросов о том, насколько слабыми должны быть
возмущения для того, чтобы линейная теория была достаточно хорошей, и
какие эффекты могут давать нелинейные члены в случае более сильных
возмущений, откладывается до гл. 2.
14
1. 'Звуковые волна
В данном разделе, принимая во внимание только сжимаемость и инерцию
жидкости, но не другие ее свойства, мы получим линеаризованные уравнения
теории звука в самом простом и весьма полезном виде. Обсуждение того,
каким образом на звуковые волны влияют эффекты, которые здесь не
учитываются (в особенности вязкость, теплопроводность, внешние силы,
включая силу тяжести, и неоднородности типа стратификации), отложим до
разд. 1.2 и других частей книги.
Инерционная природа жидкости с плотностью р проявляется при применении
второго закона Ньютона к малому элементу жидкости. Согласно этому закону,
произведение массы р единичного объема на ускорение (1) равно силе,
действующей на этот объем; при отсутствии внешних сил последняя включает
в себя лишь внутренние напряжения, вызываемые действием окружающей
жидкости на этот элемент. Если пренебречь вязкими напряжениями, то
действуюшая на единичный элемент объема сила будет просто равна градиенту
давления жидкости ур со знаком минус; следовательно,
р (du/dt -}-u- Vu) = - Vp. (2)
Свойство сжимаемости означает, что плотность элемента жидкости может
меняться в соответствии с известным уравнением неразрывности
