Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
поднята на одно и то же расстояние pjp^g, необходимое для
создания на этом расстоянии под ней избыточного дав-
ления ре. Соответствующее увеличение площади поперечного сечения А
заполненной части канала (если пренебречь квадратичными по ? членами)
есть
А = А0 = Ъ1 = Ъ {p0g)~1Pe- (16)
Отсюда выводим, что растяжимость
D = A-1(dA/dpe)p^0 (17)
дается формулой
D = Ь(Ро^о)-1. (18)
Обычно эта растяжимость (18) настолько значительна, что в формуле (10)
сжимаемостью жидкости К можно пренебречь, что дает
с = (ёА0)У*Ь~'Г- = {gh)V\ (19)
где величина h для невозмущенного поперечного сечения есть его площадь
А0, разделенная на ширину его свободной поверхности Ь; тем самым получаем
значение глубины воды, усредненной по ширине канала, известной под
названием "гидравлической средней глубины" h. Заметим, что если h имеет
значения примерно от 1 м до 100 м, характерные для ручьев, каналов и рек,
то скорость волны принимает значения примерно от 3 до 30 м/с.
Несущественность сжимаемости К в (10) подтверждается малостью этих
значений по сравнению со скоростью звука ^1400 м/с в воде).
Основное допущение одномерного распространения волн, состоящее в том, что
продольные движения жидкости велики по сравнению с поперечными, можно
теперь подвергнуть проверке. Среди поперечных движений в плоскости
поперечного сечения преобладают вертикальные смещения свободной поверх-
иости (14). Для всякой бегущей волны их можно связать с продольной
скоростью и формулами (15) и (12), что дает
? = cu/g = hulc, (20)
124
2. Одномерные волны в жидкостях
где второе выражение для ? выведено из первого с использованием формулы
(19). Поперечные движения порядка dZJdt будут тогда малы по сравнению с
гг, если характерная угловая частота со (отношение характерного значения
d^ldt к характерному значению Q удовлетворяет соотношению
со hi с <С 1, (21)*
согласно которому гидравлическая средняя глубина h "компактна" по
отношению, конечно, не к скорости звука, но к значительно более низкой
скорости длинных волн в каналах (19).
Другими формами выражения (21) служат формулы
h "С Я/(2п) и fp >> 2л (hlg)V2. (22)*
Первая из них требует, чтобы длина волны Я = 2лс/со была очень велика по
сравнению со средней глубиной /г; на самом деле, как будет показано в гл.
3, одномерная теория дает для скорости распространения ошибку меньше 3%,
если Я > 14h. Эквивалентное ограничение на период fp = 2л/со требует,
чтобы*, он был велик по сравнению с параметром, который для глубин, от 1
до 100 м меняется от 2 до 20 с. Продольные волны в открытых каналах -
это, следовательно, "длинные" волны (характерная длина волны которых
велика по сравнению со средней глубиной), возбуждаемые силовыми
воздействиями с длительными характерными периодами (по сравнению с этими
стандартными значениями порядка нескольких секунд).
Покажем теперь, как можно оценить растяжимость тонкостенной эластичной
трубы, чтобы затем использовать эту оценку для аналогичного изучения
распространения волн. Если при отсутствии возмущений внутренний радиус
трубы равен а0г а толщина стенки h, то избыточное давление ре,
действующее изнутри, создаст на единицу длины трубы окружное растяжение
а0ре. Этот простой закон (один из многих, приписываемых: Лапласу) проще
всего понять, представив себе, что отрезок трубы, длина которого равна
единице, разделен на две равные части полукруглого поперечного сечения;
они отталкиваются друг от друга внутренним давлением ре, действующим на
разделяющую их поверхность площадью 2а0, что создает силу 2а0рег
уравновешенную окружным растяжением, приложенным к обоилс соединениям
между частями.
Это окружное растяжение айре действует на участок поверхности материала
трубы площадью h (снова на единицу длины трубы), откуда получаем окружное
растягивающее напряжение (силу, действующую на единичную площадку,
нормальную к этой силе)
a0pelh. (23)
S.2. Примеры
125
Для тонкостенных труб (т. е. при h <^а) окружное напряжение (23)
значительно превосходит по величине радиальное напряжение (которое
меняется от ре внутри до 0 снаружи). В этом случае напряженное состояние
материала стенки трубы .приблизительно соответствует условиям простого
"испытания на растяжение", проводимого в окружном направлении при
напряжении (23).
Соответствующую окружную деформацию (относительное увеличение окружности
трубы) можно записать в виде
aoPe/(hE), (24)
тде упругие свойства материала стенки трубы при малых напряжениях
описываются модулем Е. Эта величина, если материал изотропен, есть модуль
Юнга, в противном случае - модуль упругости при окружном растяжении.
Относительное изменение площади поперечного сечения жидкости в трубе (А -
А^)1А0 равно удвоенному относительному изменению окружности
трубы (24), откуда, согласно определению растяжимости (17),
получим формулу
D = 2 aJ{hE). (25)
¦Этого достаточно, чтобы можно было применять всю линейную теорию
распространения волн по однородным трубам, изложенную в разд. 2.1.
