Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 52

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 242 >> Следующая

(представленной здесь взятым со знаком минус градиентом избыточного
давления). С другой сто-
роны, уравнение неразрывности для продольных движений учитывает изменения
площади поперечного сечения:
д (рA)/dt + д (рАи)1дх = 0 (4)
- это уравнение, утверждающее, что скорость изменения рА
- массы, приходящейся на единицу длины, равна взятому со знаком минус
продольному градиенту массового расхода рАи.
Заметим, что изменения площади поперечного сечения ограничивают массовый
расход и поэтому входят в уравнение (4), так как масса не может
пересекать границу трубы. С другой стороны, эти изменения не могут влиять
на баланс количества движения и входить в уравнение (3), поскольку
граница трубы действует на единицу площади элемента объема жидкости с той
же изменяющей количество движения силой ре, что и соседние с ним элементы
жидкости.
2.1. Продольные волны в трубах и каналах
121'
Вся гл. 2, за исключением изложенного в разд. 2.7 учета обусловленной
трением диссипации и кратких исследований ее влияния в других местах,
основана на приведенных выше общих уравнениях для продольных волн в
жидкостях (2)-(4) и уравнении сохранения энтропии для частицы жидкости
(разд. 2.6). В разд. 2.1 и 2.2, однако, следствия из этих уравнений
выводятся, во-первых, только при условии, что свойства жидкости, включая
ее энтропию S, а также свойства трубы (или канала) считаются продольно
однородными, так что уравнения (2) принимают вид
р = р (ре), А = А (ре), (5)
и во-вторых, в предположениях линейной теории, т. е. пренебрегая
квадратами возмущений (скорости жидкости и и избыточного давления ре).
В линеаризованном виде уравнения количества движения (3) и неразрывности
(4) суть
p0du/dt = - dpjdx, д (рA)ldt = - р0А0ди/дх, (6)
где р0 и А0 даются формулами (5) при ре = 0. Исключая из них
и, получаем
д2ре/дх2 = A-1d2(pA)/dt2. (7)
В рамках линейной теории это можно записать как одномерное волновое
уравнение
д2ре!дх2 = c~2d2pe/dt2, (8)
где скорость волны с определяется выражениями
с-2 = А-\ и (pA)ldpe]Pe=0. (9)
Таким образом, если свойства жидкости и трубы (или канала) однородны в
продольном направлении, то линейная теория приводит к тому же самому
одномерному волновому уравнению, которое описывает плоские звуковые
волны, с тем отличием, что значение скорости волны с оказывается
измененным вследствие растяжимости трубы (или канала). Действительно,
уравнение (9) можно записать в виде
p-ic-2 = [(рА)~Ч {pA)ldpe]Pe=0 =
= [p^dpldp^ -(- А ~^А1йре\Ре-0 = К + D, (10)
где относительное увеличение плотности и относительное увеличение площади
поперечного сечения, приходящиеся на единицу увеличения давления,
называются соответственно сжимаемостью жидкости К и растяжимостью трубы
(или канала) D.
122
2. Одномерные волны в жидкостях
Другими словами, все обстоит точно так же, как в теории
плоских звуковых волн (где p_Jc~2 = К), если принять, что
¦эффективная сжимаемость жидкости в трубе (или канале) является суммой
истинной сжимаемости К и упомянутой растяжимости D. Примеры использования
этого правила приведены в разд. 2.2.
В то же время скорость жидкости в направлении распространения бегущей
волны равна (рос)-1Ре (где ре = р-ро)> в точности как в разд. 1.1.
Например,
Ре = / (t - Xlc) (И)
- решение уравнения (8), описывающее волны, бегущие в положительном ж-
направлении, дает после его подстановки в линеаризованное уравнение
количества движения формулу
и = (р0г)_1ре, (12)
совсем как для плоских звуковых волн.
2.2. Примеры, относящиеся к эластичным трубам и открытым каналам
Для одного важного класса продольных волн, а именно для тех, которые
возникают в открытых каналах и, вероятно, кажутся совершенно непохожими
на звуковые волны, оказывается возможным удивительно просто рассчитать
растяжимость D и, следовательно, применить линейную теорию из разд. 2.1
для однородного невозмущенного состояния. Можно считать, что поперечное
сечение канала имеет произвольную форму, которая, однако, должна
удовлетворять допущению о продольной однородности, т. е. быть одинаковой
по всей длине канала. В невозмущенном состоянии жидкость покоится, ее
свободная поверхность горизонтальна и имеет ширину Ъ, а площадь каждого
поперечного сечения, находящегося ниже уровня жидкости, равна А0. При
отсутствии возмущений распределение давления р0 определяется согласно
гидростатике: в системе координат, в которой z отсчитывается вверх от
невозмущенной свободной поверхности (так что -z есть расстояние вниз от
нее),
Ро = Ра - Ро gz, (13)
где ра - атмосферное давление.
В момент времени t, когда это состояние претерпело возмущение и давление
увеличено на некоторую величину ре по всему
?.2. Примеры
123
данному поперечному сечению (обозначаемому его координатой х), новая
высота свободной поверхности
z = ? (х, t) (14)
¦определяется из условия, согласно которому давление р = = Ро + Ре должно
равняться атмосферному давлению ра при 2=1,, что дает
Ре = Ро gl- (15)
Следовательно, вся свободная поверхность данного поперечного сечения
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed