Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 150

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 242 >> Следующая

частоте со. Мы покажем (разд. 4.5) что волны, распространяющиеся в
стратифицированной атмосфере, сохраняют постоянную частоту со (как и
волны на воде, движущиеся к берегу), а также что в атмосфере, где
невозмущенная плотность ро и другие свойства меняются только с
вертикальной координатой z, единственное, что может меняться в
зависимости от положения, это т - составляющая волнового вектора по оси
z; другие составляющие, к и I, подобно со остаются постоянными. В связи с
этим при решении уравнения (51) относительно т интересно посмотреть, как
может меняться т в зависимости от с0 (z) и N (z) при фиксированных со, к
н I.
Используя уравнение (29), мы можем выписать решение уравнения (51) для т:
со2 = с2 (к2 + I2 + яг2),
0)2 = ДГ2 даа + г(r))/(*2 + Z2 + иг2).
(53)
(54)
362
4. Внутренние волны
Появление в т мнимой части 1/2ср'/р0 даже при условии, что она, согласно
(52), пренебрежимо мала, может показаться странным, однако его легко
объяснить. В случае когда (46) представляет собой точное решение
линеаризованных уравнений (случай с постоянными N(z) и c0(z)), член (1/2)
ip'(z)/p0(z) в силу (29) также является постоянным и, таким образом,
добавляет к ехр (-imz) множитель, пропорциональный [р0 (z)]1/2, но для
сохранения энергии, как мы покажем ниже, в этом случае как раз и
требуется, чтобы амплитуды функций ре и q изменялись в зависимости от z
точно пропорционально [ро (z)]1'2.
Между тем вещественная часть т дает точную величину вертикальной
составляющей волнового вектора, равную квадратному корню из выражения,
стоящего в фигурных скобках в формуле (55). В этом выражении при частотах
со, меньших частоты Вяйсяля - Брента N (z), преобладает первый член,
давая простое дисперсионное соотношение для внутренних волн (54).
Сравнение показывает, что другие члены имеют порядок квадратов малых
величин с~гЫ и р"/р. Действительно, из уравнения (29) следует, что при со
< Лт сумма этих членов алгебраически меньше, чем
- Т (Г'АТ2 + gc-"a)z - - -f - Г1^2)2, (56)
так что она отрицательна. Теоретически это дает нижнюю границу
горизонтальной составляющей (к2 -ц Р)1/2 волнового вектора, при которой
могут существовать внутренние волны; однако если выполняется условие
(52), то волновые числа лежат намного выше этой нижней границы.
Наоборот, если со велико по сравнению с N, то в выражении, стоящем в
фигурных скобках в формуле (55), преобладают члены - (к2 + Р) + со2 [с0
(z)] -2, приводящие к акустическому соотношению (53). Теоретически при
значениях со, только немного превосходящих N (z), и распространение звука
становится анизотропным из-за наличия дополнительного члена
(к2 + Р) IN (z)P со-2; ¦ (57)
однако это проявление анизотропии не противоречит условию (52), так как
при указанных частотах волновые числа просто имеют тот же порядок, что и
[-р'(z)/p0(z)]. Если же отношение волнового числа к этому выражению, а,
следовательно, также и к /Vc"\ велико, то член -(к2 + Р) в фигурных
скобках в (55) превосходит член (57) на квадрат этого отношения.
Проведенный выше анализ члена в фигурных скобках в выражении (55)
показывает, что несвязанность между собой
4.2, Объединенная теория звуковых и внутренних волн
363
звуковых и гравитационных волн проявляется весьма четко: ошибка всегда
квадратична относительно малого отношения величины [-Po(z)/p0(z)] к
волновому числу. Наоборот, к мнимой части (55) следует относиться более
серьезно, так как она пропорциональна этому отношению. Однако детальное
исследование, которое будет проведено ниже, показывает, что такая малая
мнимая часть в локальном дисперсионном соотношении может (если ее
использовать слишком примитивно) привести в общем случае к результатам,
вводящим в заблуждение, хотя она, конечно, дает правильный ответ в
частном случае, когда (46) является точным решением н при надлежащей ее
интерпретации может дать полезные результаты в более широком классе
случаев.
Волны с фиксированной действительной частотой со должны иметь плотность
энергии W, не зависящую от it в любом фиксированном положении. Поэтому,
согласно (44), дивергенция V -I равна нулю. Это означает, что в
атмосфере, свойства которой меняются только в направлении z, направленная
вверх составляющая
pew = [р0 (z)]~lpeq (58)
потока волновой энергии I не может изменяться по z. Но, согласно (48),
для волн, которые локально представимы в виде (46), часть функции ре,
совпадающая по фазе с д, равна
{[с, (z)]-V - /с2 - l2}-1(amq, (59)
что дает среднее значение направленного вверх потока энергии (58) в виде
4" (z)]_1{fco (2)Г2 ю2 - k2-l2} cog2. (60)
Это выражение не зависит от z тогда и только тогда, когда амплитуда qL
меняется как
[p0(z)]1/2 1 [c0(z)]-2co2 - k2 - PfPmr'i*. (61)
В случае когда (46) является точным решением при постоянных N (z), с0 (z)
и т, это и означает пропорциональность амплитуды величине [р0 (z)]1/2,
как указывает мнимая часть (55).
В дальнейшем мы действительно убедимся (разд. 4.5) в том, что в общих
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed