Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
1I Перед радикалом мы берём знак +, ибо нас, очевидно, может интересовать только корень, ближайший к rl0.
¦141 период со определяется формулой
C0
Ш =3 \
dt
Y A-ZaH2 — 2t3
В силу (141) подкоренное выражение имеет в концах Yj0 и Yj1 простые корни, следовательно ш —конечно. Уравнение половины волны, 0 ^ 5 < о), будет
. 1)0 ч
dt
Y A — 3**t2 — 2t3
Отметим несколько качественных сеойств построенных волн, вытекающих из приведённых выпе формул.
1°. Период 2о) волны возрастает при увеличении ординаты волны, а также при увеличении амплитуды. Мини-
малъуое значение со соответствует линейному слу-
¦, когда y)0 —
ы ^r
Рис. 80.
чаю'ю eVa..'
бесконечно мало; когдя Yj0
Gt*
приближается к яе-
ограниченно растёт, а при Y) =Y периодическое решение вырождается в ли-ни/о с единственным максимумом при S==O мс Yj = — а*
асимптотои (рис. 80).
Построенное апериодическое^ решение носит название уединённой волны.
2°. Кривизна волны в вершине [всегда больше, чем кривизна волны во впадине.
3°. Скорость распространения волны убывает при возрастании а.
Посмотрим в заключение, в какой мере построенное решение удовлетворяет условиям, при которых принятое приближённое выражение для | /' | мало отклоняется от действительного (см. п. 54). Для этой цели мы должны оценить функцию Y) и её первые три производные. Имеем
-a*<Y)<ia*.
¦142 Но тогда в силу (140), (138)
IV I < A1 а*3/*, | V | < A8 а*2, IV" і < А, а*'/8,
где A1, A2, A8 — числовые постоянные. Таким обравом, при вамене ! /'1 его приближённым выражением мы допускаем ошибку порядка а*б/2.
Используя построенное приближённое решение и общие вариационные теоремы, можно строго доказать существование всей описанной системы волн и показать, что наши приближённые решения отклоняются от точного на малые высших порядков.
66. Ударные задачи. Описанное выше применение модели идеальной жидкости к задачам обтекания и к теории волн в тяжёлой жидкости можно рассматривать лишь как первое приближение. Уже в теории крыла аэроплана, имея решение той или иной задачи для случая идеальной жидкости, приходится вводить попраьки на вязкость и сжимаемость, поправки, которые в изеєстньіх увловиях качественно меняют картину явления —образование вихрей у задней кромки, создание скачков давления при больших скоростях и т. п. Точно так же в теории волн значительную роль играют вязкие силы. ,
Один из циклов задач, і^де модель идеальной жидкости может быть использована особенно полно, образует ударные задачи. Значительная часть таких задач охватывается следующей схемой.
В сосуде А (рис. 81) находится покоящаяся или движущаяся жидкость В, в Рис, 8J. которой плавают твёрдые тела С. В
момент времени ? = 0 на тела С подействовали импульсивные силы так, что тело С\ получило міновенно приращение скорости V7 і = I9 2, ... (удар). Требуется определить поле скоростей Yi в жидкости и распределение в жидкости импульсивных давлений P1) в момент, непосредственно следующий за ударом.
Перейдём к математической формулировке задачи и зё редукции и некоторой задаче теории конформных отображений.
1I Сосуд и тела предполагаются, естественно, цилиндрическими, движение жидкости плоскопараллельным; На рис. 81 изображено сечение, перпендикулярное к образующим цилиндра,
W Заметим прежде всего, что, не нарушая общности решения, мы можем предполаї ать, что в момент, предшествующий удару, жидкость находилась в покое и потенциал ср её скоростей равнялся нулю:
? —0) = 0.
Обозначим через D область, занятую жидкостью, а через Г-^іраницу D. Линия Г состоит из дуг у0, Yi' • • • » Y/<"~~ce" чений стенки сосуда и поверхностей твёрдых тел Ci (рис. 84) и из дуг Yo7 Yi> ••• 9 Ya — сечений свободной поверхности; между двумя последовательными дугами уг, уг + 1 помещаются ДУІИ Yi-
Пусть теперь
2/, + 0) = <р (х, у)
— потенциал поля скоростей в момент+ 0, следующий за ударом; <р есть і армоническая функция, правильная в D. Составим для неё граничные условия:
1°. Вдоль стенки сосуда (дуги у0) условия обтекания получаем
? =
tin
2°. В точках дуг у/ соприкосновения жидкости с телом Cj будем иметь
где п —единичный вектор, нормальный к Yy и направленный внутрь D *).
3°. В точках дуг у/, входящих в СЕободную поверхность жидкости, давление в жидкости при ударе не должно меняться, следовательно в этих точках должны иметь
9 = 0.
Таким образом, поставленная ударная задача является частным случаем следующей смешанной краевой задачи:
Требуется построить в области D гармоническую функцию <р, принимающую заданные значения /j (s) на дугах у/ и
х) При этом мы исключаем отставание жидкости от тела (кавитацию). Введение в рассмотрение кавитации принципиально не изменит излагаемого ниже решения, в этом случае пришлось бы ввести дополнительные параметры—дуги кавитации,
M обладающую заданной нормальной производной Fy (s) на дугах у/. Производные ф по координатам дают проекции искомых скоростей поля, а величина — искомое импульсивное давление в жидкоспт.
