Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поставленная задала сеодится к некоторой задаче теории конформных отображений. Для редукции вьедём несколько дополнительных параметров. Пусть Т:у = у(х) есть селение сеободной поверхности плоскостью хоу; назовём средней глубиной канала число
41
H = Iim ~ J y(x)dx.
-Z
Пусть далее g — ускорение силы тяжести, р —плотность жидкости,
h=v0H.
Приняв это, перейдём к математической постановке задачи. В силу п. 56 из условий, \то жидкость идеальна и движение в плоскости хоу установившееся, следует, что комплексный потенциал движения
t = f(z,T,h), /(±00, Г, h) = ± со
есть функция, реализующая конформное отображение области D(Y): О < у < у(х) на прямолинейную полосу; ширина го л осы должна раьняться h, ибо расход потока г;о условию равен V0H = h.
На свободной, eoj-НОеой, поЕерхности даЕление должно оставаться постоянным, равным атмосферному; следоЕа-тельно, по теореме Бернулли в каждой то^ке Г должно иметь место соотношение
P = с - у P 7' (Z9 Г, h) I2 - g?y = const. (135)
Таким образом, наша задача свелась к следующей: построить все кривые Г: у = у(х) такие, что конформные отображения / (z, Г, К) области D (Г): О < у <у(х) на полосу О < у < h заданной ширины h в каждой точке Г удовлетворяют соотношению (135). Вследствие нелинейности условия (135) решение этой задачи го есєй полноте вызывает большие трудности и не юлуіеко д о настоящего Еремени. Мы изложим ниже приближённое её решение, осноьанное на приближённых формулах теории конформных отображений. В наших частных задачах мы будем искать периодические чётные кривые у —у (X)1 мало отклоняющиеся от прямой у = H.
Для более удобной формулировки условий введём ещё несколько безразмерных параметров, положим
а со
P = TJ' Y=H'
где а - амплитуда волны: 2a = max?/(х) — minу(х) и 2о)~период волны:
у(х + 2ш) -=у(х).
Будем рассматригать решения, для которых число а мало, а число у, соотіетственно, еєлико. В этом случае, кэк мы і окажем ниже, можно восі ользоваться для приближённого представления |/'(z, Г,/г)| формулой (ИЗ). Но тогда, не меняя порядка точности, для точек кривой Г получим
I f'(z, Г, A)'=(^)X1+ І wf) •
Подстагляя это выражение в основное соотношение (135), мы придём к уравнению вида
(1У(1+ Ьу")+2М=с- (136I
Уравнение (136) есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Наша задача сьодится к отысканию периодических решений зтоіо ураінения, удовлетворяющих, кроме того, условию
CL)
^ y{x)dx = H.
— «о
Решим (136) относительно у" И ПОЛОЖИМ X = Hl, 1 у = Н(-п+ 1): ' _
¦139 Ради большей простоты дальнейших выкладок фиксируем число С —потребуем, чтобы т) = 0 было интегралом (137), тогда
?=1+(^ = 3 + 0**.
Подставляя найденное значение С в уравнение (137) и сохраняя в праьой части этого ураінения лишь члены ьторо о порядка малости относительно ос и y), мы приведём урагнение (137) к следующему простейшему виду:
Tj"= -Зз*7)-3т)2. (138)
Дальнейшее изложение мы будем вести в двух различных предположениях.
1°. Линейная теория. Предположим сначала, что число ? мало в с раї нении с а* —волны малой амплитуды на поверхности не.лубокого канала. Тогда уравнение (138) можно линеаризировать:
Y)"= — 3%*Г),
и в качестве решений мы получим линейные волны г\ cos ]/За* С.
В переменных Xt у урагнения этих волн имеют вид у = H + a cos сох,
Y Зое*
где (о = —ц— связано с дру.ими параметрами волны соотношением
vi= f • (139)
О
Таким образом, при данной скорости распространения волны V0 и данном периоде 2(» существует бесчисленное множество решений, зависящих от, одного параметра — амплитуды волны. При этом средняя иубгна H определяется соотношением (13Э). Из соотношения (139) следует, что скорость линейных волн возрастает вместе с их длиной, но никогда не превышает \/ gli. Пренебрегая в (132) , членом ш*H29 мы получим формулу Ла.ранжа
V20=^gB.
¦140 2°. Длинные волны, теория Релея. Займёмся теперь случаем, когда ? имеет порядок а. В этом случае задача становится нелинейной. Оказывается, здесь амплитуда волн не может считаться произвольной, но при фиксированной скорости и0 зависит от со.
Уравнение (138) допускает, очевидно, первый интеграл:
= (140)
Приняв, ЧТО В вершине ВОЛНЫ Z = O, Yj==YI0 > 0, получим для А значение
Ji = 3**7,;+
Для существования периодического решения (138) или (140) необходимо, чтобы нашлось значение vj = Yj1<Yj0, для
которого ^ = 0 (впадина волны —точка волны с наименьшей ординатой). В силу (140) число Yj1 должно быть корнем уравнения
2^]3 + 3a*Yj2 —А = 0. (141)
Последнее уравнение имеет корень Yj = Yj0; после деления его левой части на Yj-Yj0 получим
2Y + (За* + 2тг)ф) T1 + (3a*Y)0 + 2ife) = 0.
Следовательно,
Tll = - А (3** + 2Tlo) +1 ]/9а*2 — 12а*т)0 — 8rf0.
»3
Таким образом, для существования периодического решения1) необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным, т. е. чтобы
7*
Ъ < т .
Нетрудно непосредственно убедиться в том, что условие
Ъ < Y (142)
является вместе с тем условием, достаточным для существования периодическою решения. В силу (140) полу-
