Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи - Ланге В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
кинетической энергии. При скорости порядка 3 км/сек кинетическая энергия
килограмма горючего сравнивается с его теплотой сгорания - запасом
химической энергии, а при достижении первой космической скорости
кинетическая энергия топлива в три раза превышает теплоту сгорания. Это и
объясняет парадокс.
97
35
Скатываясь с горки, обруч участвует одновременно в двух движениях: его
центр тяжести перемещается поступательно, в то время как все точки обруча
совершают, кроме того, вращательное движение, ось которого проходит через
центр тяжести.
Поэтому правую часть написанного в условии задачи равенства, выражающего
закон сохранения энергии, необходимо дополнить еще одним членом,
представляющим кинетическую энергию вращательного движения:
тпЯ= \^кинет- 4- ууки"ет-
iivQi л гг П0СТуП> I •'*' вращат. •
Рассматривая рисунок 39, нетрудно видеть, что точки сбруча движутся
относительно его центра с такой же скоростью, с какой центр движется
относительно земной поверхности. Действительно, выберем на обруче точку
В, соприкасающуюся в данный момент с землей, а поэтому неподвижную
относительно нее. Если центр обруча обладает относительно земли скоростью
v, то такой же скоростью он обладает относительно В. Но если центр А
движется относительно В со скоростью v, то и точка В движется
относительно А с такой же скоростью. Все точки обруча равноправны, и если
одна из них движется относительно центра со скоростью v, то это же можно
сказать и о других. На основании этого заключаем, что можно записать
следующее равенство:
тут-кинет. хугкннет.
поступ. вращат. •
Но
TTIV 2
вкинет.
поступ. ^
Поэтому
mgH = mv2.
98
Отсюда для скорости, приобретенной обручем, имеем:
V = V~gH.
Подставляя сюда # = 4,9 м, найдем:.
v = 1/9,8 • 4,9 м як 6,9 ~.
Г "тс-1 ' ' сек2
Аналогичным образом следует решать задачи на вычисление скорости
скатившихся с горки шара, диска и других тел. Но эти случаи сложнее, так
как скорости точек, различно удаленных от центров диска, шара и т. п.,
различны, что сильно затрудняет вычисление кинетической энергии,
связанной с вращательным движением. Для решения задач в подобных случаях
приходится вводить понятие о моменте инерции, играющем в динамике
вращательного движения такую же роль, как масса в поступательном
движении. Если тело соскальзывает с наклонной плоскости, не вращаясь, то
П7кинет- =0 и скорость может быть вычислена по
вращат.
формуле, приведенной в тексте софизма.
Убедиться в справедливости изложенных здесь соображений нетрудно на
опыте, сравнивая время скатывания с наклонной плоскости двух одинаковых
бутылок, имеющих равный вес, наполненных одна водой, а другая- смесью
песка и опилок.
При движении первой бутылки ее потенциальная энергия почти целиком
превращается в кинетическую энергию поступательного движения, поскольку
вода не принимает участия во вращении, за исключением весьма тонкого
слоя, прилегающего к стенкам бутылки (массой самой бутылки в этом и
следующем далее рассуждении мы для простоты пренебрегаем).
Смесь песка и опилок вращается вместе с бутылкой и значительная доля
потенциальной энергии бутылки превращается в кинетическую энергию
вращательного движения. Поэтому кинетическая энергия и, следовательно,
скорость поступательного движения для второй бутылки оказывается меньше.
Показав этот легко воспроизводимый опыт, можно попросить учащихся
попробовать объяснить его.
99
36
Оба утверждения одинаково справедливы, если считать третью из величин,
входящих в каждую формулу, постоянной.
Действительно, рассмотрим на вращающемся диске две точки, расположенные
на различном расстоянии от оси вращения. Тогда при одной и той же угловой
скорости со та из них будет обладать большим центростремительным
ускорением, которая удалена от оси вращения дальше. Это легко показать на
опыте, поставив на диск проигрывателя радиолы две фигурки: нетрудно
подобрать для них такие положения, что более удаленная от центра упадет,
а вторая останется стоять.
Наоборот, при одинаковой линейной скорости v вращающихся точек их
центростремительные ускорения будут обратно пропорциональны радиусам
вращения. Так обстоит, например, дело с ускорениями точек, расположенных
по окружностям двух шкивов различного радиуса, соединенных ременной
передачей. То же относится и к зубчатым колесам с разным числом зубцов.
Аналогичным образом одинаково справедливы две формулы для вычисления
мощности, потребляемой некоторым участком электрической цепи:
k = PR и N = ^-.
Если токи одинаковы (что бывает при последовательном соединении
потребителей тока), мощности, рассеиваемые ка участках, прямо
пропорциональны их сопротивлениям. При параллельном соединении (примером
которого может служить соединение бытовых электроприборов) одинаковым
оказывается напряжение на приборах, и потребляемые мощности обратно
пропорциональны сопротивлениям.
По поводу -этой задачи смотрите также начало решения задачи № 29.
37
Предложенный двигатель, конечно, неосуществим. Но не потому, как это
