Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи - Ланге В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
камни в движение (веса камней), ровно во столько же раз увеличивается
приводимая в движение масса, а ускорение остается неизменным в
соответствии со вторым законом Ньютона:
17
Ошибочность приведенного в тексте задачи рассуждения заключается в
необоснованности предположения, что сила F передается через брусок М\
полностью бруску М2. Это совершенно не вытекает из законов механики.
Разумнее предположить, что на брусок М2 действует какая-то другая сила
F'=?F. Тогда к бруску Мi будет приложена сила R = F-F'. После этого
второй закон Ньютона дает:
F-F' F'
- -л- и а2 - -тт- .
1 М, 1 Мо
, Поскольку бруски постоянно соприкасаются, их ускорения должны быть
равными
а1 - а2 = а,
то есть
F-F' F'
Mi м2 -
Отсюда видно, что
рГ М2 ' р
М\ -|- М2
Таким образом, к бруску М2 приложена не вся сила F, а только ,, -я
часть ее. Подставляя значение F'
/Wj /И 2
в любое выражение для ускорения (проще во второе), получаем:
F
а--
Мг.+ М3
85
Этот же результат получается, если просто разделить приложенную силу на
общую Массу обоих брусков.
18
В обоих случаях сила, приводящая в движение, равна двум килограммам. Но в
первом случае вес гири приводит в. движение не только тележку, но и самое
гирю, тогда как во втором - сила сообщает ускорение только тележке.
19
Всего естественнее предположить, что повозку нужно привести в равномерное
движение. Поэтому работа в обоих случаях будет производиться против силы
трения, которая остается постоянной, так как определяется только весом
повозки и коэффициентом трения. Следовательно, не должна измениться и
сила тяги, так как в соответствии с третьим законом Ньютона при
равномерном движении она равна той силе, против которой производится
работа.
Таким образом, приведенный ответ неверен. Правильное решение таково: в
обоих случаях сила тяги составит 500 н.
Нужно добавить, что впоследствии автор задачи пришел к тому же заключению
и формулировал задачу по-другому: одна лошадь может тянуть с силой 500 я,
какое усилие могут развить пять таких лошадей, запряженных вместе? Здесь
уже не говорится, что лошади в обоих случаях должны тянуть одну и ту же
повозку, и первоначальное решение (1750 н) будет правильным. ¦
20
Увеличение скорости со временем определяется ускорением движущегося тела,
которое в свою очередь зависит от величины силы, приводящей тело в
движение, и массы (но не веса!) тела. Как первая, так и вторая величина
остаются неизменными, а поэтому не изменится и ускорение автомобиля.
Однако этот ответ верен, по-видимому, лишь "в первом приближении", и
более внимательное рассмотрение
86
приводит к заключению, что небольшое увеличение ускорения должно все же
наблюдаться, но совсем по иным причинам.
На основании второго закона Ньютона имеем
где FT -сила тяги, постоянная по условию, Етр-сила трения, препятствующая
движению автомобиля на Луне, и М - масса автомобиля. Сила трения может
быть выражена как произведение коэффициента трения k колес автомобиля о
поверхность Луны на его "лунный" вес Р:
Если считать поверхность Луны не очень отличающейся от земной (во всяком
случае мы всегда можем соорудить там такую же дорогу, что и на Земле), то
коэффициент трения k остается неизменным. В то же время вес автомобиля, а
следовательно, нормальное давление, прижимающее его к поверхности Луны,
уменьшается примерно в шесть раз. Поэтому уменьшается и сила трения, а
разность сил F т- /7тр увеличивается, что сопровождается ростом
ускорения. Наконец, есть и еще одна причина, по которой ускорение
автомобиля на Луне будет больше - отсутствие воздуха, препятствующего
движению.
Найдем вначале ускорения всех шариков сразу же после разрезания нити.
Считая силы и ускорения, направленные вниз, положительными, получим для
ускорений следующие выражения:
Таким образом, ускорение шарика М2 и в самом деле не равно g. Но это тем
не менее никак не противоречит
Frp^k-P.
21
Myg + fy Жу
Mg + 2Mg 0
M g>
M3g - f у + fu
a* ЖГ
Mg - 2Mg + Mg n
M ~u
M3g-fn
Mg - Mg
M
87
утверждению, что при свободном падении центр тяжести системы должен
двигаться с ускорением земного тяготения. Все дело в том, что центр
тяжести системы совпадает с центром шарика М2 лишь в состоянии покоя, что
непосредственно вытекает из равенства масс шариков и расстояний АВ и ВС.
Однако последнее равенство сразу же после разрезания нити нарушается. В
самом деле, упругость пружины /, очевидно, больше упругости пружины II,
так как при разных растягивающих силах они растянуты одинаково. Поэтому
после разрезания нити первая пружина начнет сокращаться быстрее, чем
вторая; расстояния АВ и ВС перестанут быть равными и центр тяжести
системы начнет перемещаться вниз от шарика М2. Для нахождения положения
центра тяжести в некоторый момент времени t воспользуемся обычной
формулой:
Л/х-^х -Т М2х2 4- М3х3 М(хх Д- х2 4~ А'з)_
с " Mi + м% + м3 ~ гм ~
АI - I - Х2 - А;
3
Совместим начало координат с центром шарика Мг и направим ось х
