Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи - Ланге В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
или
COS a
Напрашивающийся и обычно даваемый ответ, 50 км/ч, не является правильным,
В самом деле, обозначим расстояние между пунктами Л и В через 5. Тогда
время, затрачиваемое на переезд из Л в Выбудет равно
t = -
1 "i '
Обратный переезд потребует времени
2
а"
А на весь путь туда и обратно будет затрачено j. j. I i s 1 s s(v 1 + о2)
После этого средняя скорость
2s 2 vx ¦ v2
s(Vi + V'j) ~ V1 + V2 Vi-V3
Подставляя сюда значения скоростей vt и v2, получим для средней скорости
значение 48 км/ч.
Формулу для вычисления средней скорости можно представить в следующем
виде:
Величина уср, определяемая таким образом, носит название среднего
гармонического величин щ и v2i Средняя скорость равна среднему
арифметическому начальной и конечной скоростей только для
равнопеременного движения (движения с постоянным ускорением) для
данного'же случая средняя скорость выражается как среднее гармоническое
скоростей щ и v2.
Проверим полученные решения, вычислив время, необходимое для подъема на
высоту 6 м при начальной скорости 21,5 м/сек и 13 м/сек соответственно.
Из выражения
имеем два значения времени для начальной скорости
21,5 м/сек:
. Таким образом, для любой начальной скорости, удовлетворяющей,
разумеется, условию
6
- Vo ± Y Vq + 2as
а
tx = 0,3 сек и t2 = 4 сек, и два значения для скорости 13 м/сек:
tx = 0,6 сек и t2 = 2 сек.
78
камень побывает на высоте 6 ж дважды: при подъеме вверх и на обратном
пути. Чем больше начальная скорость, тем дольше будет подниматься камень
до наивысшей точки своей траектории, тем позже, опускаясь оттуда, он
вторично окажется на заданной высоте.
Приведенные в текстах задач значения времени специально подобраны так,
чтобы соответствовать спуску.
Все сказанное хорошо иллюстрируется рисунком 34, где представлены графики
движения тела
для обоих случаев. Верхняя парабола выражает зависимость высоты от
времени для начальной скорости
21,5 м/сек, а нижняя - для скорости 13 м/сек. (На рисунке 34 Н дано в
метрах, a t - в секундах.)
Во время торможения вагона тело пассажира, сохраняя прежнюю скорость,
наклоняется вперед. Стремясь воспрепятствовать падению, человек
инстинктивно напрягает мускулы ног. При остановке пассажир не успевает
сразу же расслабить мышцы, и они толкают его назад. Такую же роль, как и
мышцы человека, играют рессоры экипажа.
При экстренном торможении мускулы человека не успевают приспособиться к
обстановке, и он наклоняется вперед в полном соответствии с законом
инерции.
8
Когда-то, между прочим, так и считали, что паровоз не может приводить в
движение состав, вес которого превышает вес паровоза. Поэтому авторы
первых проектов снабжали паровозы чем-то вроде ног для отталкивания
79
от земли (паровоз Брунтона, 1813 т.) или предлагали ведущие колеса и
рельсы делать зубчатыми (паровоз Блекинсона, 1811 г.).
Ошибка этих изобретателей, как и приведенного в тексте софизма, состоит в
том, что коэффициенты трения колес вагонов о рельсы и ведущих колес
паровоза о рельсы принимались равными совершенно необоснованно.
Все дело состоит в том, что точки колес локомотива и вагонов,
соприкасающиеся с рельсами, в момент соприкосновения неподвижны. Значит,
в обоих случаях мы имеем дело не с динамическим, а со статическим
трением, коэффициент трения которого не является какой-то строго
определенной величиной, а меняется от нуля до некоторого максимального
значения, когда происходит срыв и начинается движение. Поскольку вращение
колес происходит без "юза" (то есть колеса не заблокированы и вращаются
свободно), тр и для колес тепловоза, и колес вагонов коэффициент трения
меньше максимального, но неодинаков: у ведущих колес локомотива он велик
и меньше у колес вагонов. Произведение веса (точнее, сцепного веса)
локомотива на большой коэффициент трения при равномерном движении равно
произведению веса состава на малый коэффициент трения. Коэффициенты
трения ki и k2 могут различаться во много раз, и приравнивать их, как это
сделано в условии софизма, конечно, нельзя. Впервые это экспериментально
показал инженер Хедлей, построивший в 1813 г. свой паровоз "Пыхтящий
Билли". Однако полностью проблема паровозостроения была разрешена
несколько позже Стефенсоном.
9
Сила трения от этого, конечно, не уменьшается. Однако для вращательного
движения важна не столько сама сила, сколько ее момент. Нетрудно видеть,
что с уменьшением радиуса трущейся части уменьшается момент тормозящей
силы трения, а вместе с тем и потери на работу против сил трения.
10
В верхней и нижней мертвых точках поршень работающего двигателя на очень
короткое время останавливает-
80
ся, меняя направление движения. В эти моменты времени масло выдавливается
из промежутка между поршнем и стенками цилиндра, и некоторое время после
этого движение происходит почти "в сухую", пока поршень не попадет на
смазанную поверхность. Естественно, что износ сухих поверхностей
значительно больше, чем смазанных.
11
Часть задачи, относящаяся к бруску, не содержит ошибок. Была бы
