Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
7 = -dE, (59,4)
где Е = — А — оператор напряженности поля, d— оператор дипольного момента атома (аналогично классическому выражению энергии системы малых размеров в электрическом поле — см. II, § 42). Его матричные элементы:
Vm = ~1 (ednl), v'2n = i-y/2жо' (e'*d2„).
Подставив эти выражения в (59,2—3), получим сечение рассеяния (пишем его в обычных единицах) '):
d у | (d»»0(d,je) + (d»ac) (d».e^) | 2 do' (595) l—i I Wni — w — iO 1 w„i + w — iO J я2с4 v '
П
ftco nl = En — Eu со'— со = (o12.
*) Эта формула была впервые получена Крамерсом и Гейзенбергом (Я. А. Kramers, W. Heisenberg, 1925) еще до создания квантовой механики.
ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ
257
Суммирование производится по всем возможным состояниям атома, включая состояния непрерывного спектра (при этом состояния 1 и 2 автоматически выпадают из суммирования, поскольку диагональные матричные элементы du = d22 — 0). Бесконечно малые мнимые добавки в знаменателях соответствуют обычному правилу обхода полюса в теории возмущений (см. III, §43): к энергиям промежуточных состояний Еп, по которым происходит суммирование, добавляется бесконечно малая отрицательная мнимая часть. Правило обхода существенно, когда полюсы выражения (59,5) по переменной Еп попадают в область непрерывного спектра (так, если состояние 1 —основное состояние атома, то для этого Йсо должно превышать порог ионизации атома)').
Введем обозначение (обычные единицы)2)
ы* 4l[ - к] <ю’б>
l п\ п1 J
ПГ*, k = х, у, г — трехмерные векторные индексы). С его помощью формула (59,5) перепишется в виде
,59,7)
Обозначение (59,6) оправдано тем, что эту сумму действительно можно представить как матричный элемент некоторого тензора. В этом проще всего убедиться, введя векторную величину Ь, оператор которой удовлетворяет уравнению
/Ь + cob = d.
Ее матричные элементы
b — d"' h — &2п U п 1--„ » Uo„ —¦
»' ¦ (0 - шЯ1 ’ 2л со + соп2
так что
(cik) 2i — (bkdi — dibk) 2i. (59,8)
Матричные элементы (с,*) 21 будем называть тензором рассеяния света.
Из сказанного следует, что правила отбора для рассеяния совпадают с правилами отбора для матричных элементов произвольного тензора второго ранга. Сразу же отметим, что если система имеет центр симметрии (так что ее состояния могут
') Для молекулы роль порога ионизации в данном аспекте играет порог диссоциации на атомы.
2) Большинство результатов, излагаемых в § 59—61, принадлежит Пла-
чеку (G. Placzek, 193)—1933).
258
рассеяние света
[ГЛ VD
классифицироваться по четности), то переходы возможны лишь между состояниями одинаковой четности (в том числе без изменения состояния). Это правило противоположно правилу отбора по четности при излучении (электрически-дипольном), так что имеет место альтернативный запрет: переходы, разрешенные в излучении, запрещены в рассеянии, а разрешенные в рассеянии— запрещены в излучении.
Разложим тензор на неприводимые части:
— соответственно скаляр, симметричный тензор (с равным нулю следом) и антисимметричный тензор. Их матричные элементы:
(знаки обхода полюсов для краткости опускаем).
Рассмотрим некоторые свойства тензора рассеяния в предельных случаях малых и больших частот фотона1).
Для несмещенного рассеяния (0)12 = 0) антисимметричная часть тензора при со->-0 обращается в нуль (из-за мшжителя а> перед суммой в (59,13)). Скалярная же и симметричная части тензора рассеяния стремятся при ш->-0 к конечным пределам. Соответственно сечение при малых ш пропорционально ш4.
В обратном случае, когда частота ш велика по сравнению со всеми существенными в (59,6) частотами шпь Шпг (но, конечно, по-прежнему длина волны а), мы должны вернуться к формулам классической теории. Первый член разложения тензора рассеяния по степеням 1/ш равен
где
(Cin)21“ 2 i
П
') Случай резонанса (когда и близко к одной из частот m„i или и2п1 будет рассмотрен в § 63.
ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ
259
и обращается в нуль в силу коммутативности dlt dk. Следующий член разложения
(Clk)21 = [®2fl (d/i)2n (^l')nl (^i)2«®rtl (^ft)rtll =
П
^ "to5" dtdk)2l.
Используя определение d —2er (сумма по всем электронам
в атоме) и правила коммутации между импульсами и координатами, получаем
(ctk)n = — -^гбгь (cife) 21 = 0, (5ЭД4)
где Z — общее число электронов в системе, m — масса электрона. Таким образом, в пределе больших частот в тензоре рассеяния остается лишь скалярная часть, причем рассеяние происходит без изменения состояния системы (т. е. рассеяние целиком когерентно— см. ниже). Сечение рассеяния в этом случае
do = r2eZ2\е'*е j2 do', (59,15)
где re = е2/т. После суммирования по поляризациям конечного
фотона получим формулу
da=^r2eZ2{l - (еп')2} do'= r2eZ2 sin2 Q-do', (59,16)
действительно совпадающую с классической формулой Томсона
II (80,7) (0 — угол между направлением рассеяния и вектором поляризации падающего фотона).
Рассмотрим рассеяние света совокупностью N одинаковых атомов, расположенных в объеме, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Тензор рассеяния такой совокупностью будет равен сумме тензоров рассеяния каждым из атомов. При этом, однако, надо учесть, что волновые функции (с помощью которых вычисляются матричные элементы дипольного момента) для нескольких одинаковых атомов, рассматриваемых одновременно, нельзя считать просто одинаковыми. Волновые функции по самому своему существу определены лишь с точностью до произвольного фазового множителя, и эти множители у каждого атома свои. Сечение рассеяния должно быть усреднено по фазовым множителям каждого атома независимо.
