Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Такая функция дается формулой (см. задачу к § 39)
¦=(!--5Г*Чт)-^г+„, <57’3>
где фир — нерелятивистская функция связанного состояния 1(56,6), а и — биспинорная амплитуда покоящегося электрона, нормированная принятым нами условием йи = 2т.
S 671-
ФОТОЭФФЕКТ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ
247
Подставим функции (57,2—3) в матричный элемент (56,2)*):
Мг1 = Т$Ш S k(ve)[(l "фвр]е",(р-к,г +
-+- (\е) е/кгЫ'ф11р} с/3лг. (57,4)
Имея в виду получить первый член разложения этой величины по Ze2, мы можем во втором члене в фигурных скобках заменить \|)Нр просто постоянной {Ze2m);>l2l-\1 л. Первый же член в результате такой замены обратился бы (при р— к^О) в нуль (именно поэтому в необходимо учитывать также и первую релятивистскую поправку, пропорциональную Ze2; при v ~ 1 эта поправка дает вклад в сечение того же порядка, что и следующий член разложения rfnp по Ze2).
В первом члене в (57,4) производим интегрирование по частям, переводя действие оператора V с \j)Hp на экспоненциальный множитель. В результате получим
Mft=(ve) i1 + W Y°Y (р “ k)] “ +
+ 'Ф-к* (уе) ы}, (57,5)
где векторный индекс означает пространственную компоненту Фурье. С точностью до члена ~Ze22)
(е-геП,-к = ^?Р (57,6)
¦) Функция (57,3) была получена для расстояний г ~ 1/mZe2, на которых поправочный член в ней относительного порядка величины Ze2. Но для основного состояния (а также и для всех вообще s-состояний) формула (57,3) пригодна для любых г, поскольку производная от чисто экспоненциальной функции (56,6) (а с нею и поправочный член в (57,3)) всегда пропорциональна Ze2. Это обстоятельство позволяет воспользоваться формулой (57,3) в рассматриваемой задаче, в которой существенны малые г. (При v ~ 1 существенны г ~ 1/т.)
2) Взяв компоненту Фурье от обеих сторон равенства
е~кг
(Д — X2) —-— = — 4it6 (г),
(57,6а)
(57,66)
получим
(е_Хг>1= ^
I Г /, q2 + А* '
Дифференцирование этого выражения по параметру X дает
(•"П.
в—\г\ 8яЛ
(q2 + A2)2’
248 ИЗЛУЧЕНИЕ [ГЛ. V
Для вычисления же компоненты Фурье пишем уравнение, которому удовлетворяет функция
(Y°8 + i\’V — m) ,ф(1) = e (yM,*) u'eipv = — y°u'e‘pr
(оно получается подстановкой (57,2) в (32,1)). Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор (\°е + *’у^ + яг). получим
(A -j- р2) ,ф(1) = — Ze2 (y°8 + JYV + т) (y°u') у eit>r.
Умножим это уравнение на e~ikr и проинтегрируем по d3x, причем в членах с А и V производим обычным образом интегрирование по частям:
(р2 — k2) = — Ze2 (Y°e — vk + m) (y°«0 (-7)
= — Ze2 (28y° — y (k — p)) (Y°«0 (k •
k-p
4 jt
В последней строке учтено, что амплитуда и' удовлетворяет уравнению
(eY° — PY — т)и' — 0, или (eY° + pv — tn) у°и' = 0.
Отсюда находим
ф<п = = 4я2е^ Yo. (57>7)
Подставив (57,6—7) в матричный элемент (57,5), предста-вим его в виде
MU = ~,—ЯГ7.-----Аи>
где
^ (em)1'’2 (к — р)2
А=а (ye) + (ve) y° (Yb) + (yc) y° (Ye),
1 I 8 1 , к — p к — p
a ~ (k - p)2 ' m k2 — p2 * D— 2m (k — p)2 ’ C — 2m (k2 - p2) ‘
Сечение
8e2 (2e2m)51 p I я w-t-d° = со (k — p) m <U AU^UAU >
где A = y°^4+Y° (cm- § 65). Это выражение надо еще просуммировать по конечным и усреднить по начальным направлениям спина электрона. Эти действия производятся по описанным ниже, в § 65, правилам с помощью поляризационных матриц плотности начального и конечного состояний:
P = T-(Y°+1), Р' = Т (Y°8 — YP + т)
S 67]
ФОТОЭФФЕКТ, РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЯ
249
(в начальном состоянии р = 0, в = т). Они приводят к выра-жению
Вычисление следа (с использованием формул (22,22)) представляет собой чисто алгебраическую операцию и приводит к следующему результату:
(вектор е предполагается вещественным — линейная поляризация фотона).
Придадим формуле сечения фотоэффекта окончательный вид, введя полярный угол 0 и азимут ф направления р относительно направления к в качестве оси г и плоскости к, е в качестве плоскости xz (так что ре = |р| coscp sin0). При to I сохранение энергии можно записать в виде е — пг =ш (вместо е — т = = (о — /). Легко проверить, что тогда
к2 — р2 = — 2т (е — т), (к — р)2 = 2е (е — пг) (1 — v cos 0),
где v = p/e — скорость фотоэлектрона. После простых преобразований получим окончательно
где ге = е2/т.
В ультрарелятивистском случае (е т) сечение фотоэффекта имеет резкий максимум при малых углах (0 ~ Vl — v2), т. е, электроны испускаются преимущественно в направлении падения фотона. Вблизи максимума пишем
Элементарное, хотя и довольно длинное интегрирование выражения (57,8) по углам приводит , к следующей формуле для
16ег (Ze2m)b1 р | тв (к — р)4
Sp (р'ЛрЛ) do.
Sp (рМрЛ) = [ар - (Ь - с) (е + пг)]2 +
+ 4пг (be) [(е + пг) (се) + а (ре)]
do — Z°a4r"
о3 (1 — у2)3 sin8 0
(57,8)
1 -ucos0~^-[(l -v2) + e2],
и главные члены в (57,8) дают
do ==» 4Z5a4r‘
(57,9)
550 ИЗЛУЧЕНИЕ [ГЛ. V
полного сечения (F. Sauter, 1931):
„_2llZBaV,Ji!nJ)!iri + е (Y - I)5 X 3
+ дйхтЧ|--, Л—<S7.I0>
Y+1 4 2yVy^~ I y —Vy — 1 / )
(57,11)
где для краткости введен «лоренцев множитель» _____________________; 1 е т + ю
Vl — в
2
т т,
В ультрарелятивистском случае эта формула сводится к простому выражению
