Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
d3k/(2nf
(2,6)
А = У 4я^Qk cos кг — — Pk sin кг) . (2,7)
к
^ (Е2 + Н2) d3x
к
§ 2] КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 21
(а = 1,2), перепишем функцию Гамильтона в виде
я-Е-5-(рг«+“г<3У- (ад
ка
Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Qka, Pka- Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложении говорят как о разложении поля на осцилляторы.
Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные координаты Qka и обобщенные импульсы Рka — как операторы с правилом коммутации
AtaQka QkaPka = I (2,9)
(операторы же с разными ka, все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также потенциал А и, согласно (2,2), напряженности Е и Н.
Последовательное определение гамильтониана поля требует вычисления интеграла
H = -~\(E2+H2)dh, (2,10)
в котором Е и Н выражены через операторы Pka, Qka. Фактически, однако, некоммутативность последних при этом не проявляется, так как произведения QkaPka входят с множителем
coskr-sin кг, обращающимся в нуль при интегрировании по всему объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается выражение
?=?±(pL + c°2QL), (2,11)
ka
в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать.
Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, § 23). Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля
?е=?(^к“ + т)®’ (2*12>
ка
где N ка — целые числа.
22 фотон [гл. [
К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Qka, что можно сделать непосредственно с помощью известных формул для матричных элементов координат осциллятора (см. III, § 23). Отличные от нуля матричные элементы равны
(Nka | Qka I Nka - 1) = (Nka - 1 | Qka | Nka) = V^-' (2,13)
Матричные элементы величин Pka = Qka отличаются от матричных элементов Qka лишь множителем ± ш>.
В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользоваться вместо величин Qka, Pka их линейными комбинациями coQka ± iPka, которые имеют матричные элементы только для переходов Nka-*Nka±\. Соответственно этому вводим операторы
Cka == /-— (coQka ^Pka), Cka = — (coQka ^Pka) (2,14)
У 2ш V2ft)
(классические величины cka, cka совпадают с точностью до множителя д/2я/(й с коэффициентами aka, aka в разложении (2,4) ) Матричные элементы этих операторов равны
W» - 1 Ы М = <Л\. 11 К. - 1) = Фк*- (2. >5>
Правило коммутации между ?ka и cjj"a получается с помощью определения (2,14) и правила (2,9):
^ka^ka ^ka^ka= * * (2.16)
Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида (2,4), в котором, однако, коэффициенты являются теперь операторами. Напишем его в виде
^ ~ S (^ka^ka “Ь ^ka^ka)» (2,17)
ku
где
---- p(a)
Aka = л/4я —i=eikT. (2,18)
У2о>
Мы ввели обозначение е(а> для единичных векторов, указывающих направление поляризации осцилляторов; векторы е(а) перпендикулярны волновому вектору к, причем для каждого к имеются две независимые поляризации.
Аналогично для операторов Е и Н напишем
Ё = S (?t„Ek„ + г+е*ь„), н = 2(гкан1а + г+н;а), (2,19)
причем
Ека = /<йАка, Нка = [пЕка]' (п = к/а>). (2,20)
§ 2] КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 23
Векторы Aka взаимно ортогональны в том смысле, что
^ ^kcAk'a' (^Х ^ ®aa'\k'‘ (2,21)
Действительно, если Aka и А^,а, различаются волновыми векторами, то их произведение содержит множитель et{-k~k')T, дающий нуль при интегрировании по объему; если же они различаются лишь поляризациями, то e(a,e(a,)* = 0, так как два независимых направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные соотношения справедливы для векторов Eka, Hka. Их нормировку удобно записать в виде
¦ST S + "АО л = ‘“'чА”" <2.22>
Подставив операторы (2,19) в (2,10) и произведя интегрирование с помощью (2,22), получим гамильтониан поля, выражен-
ный через операторы С, 6+:
Н ^ ? ~2 Ю (^ka^ka "К ^kcAa)' (2,23)
ka
Этот оператор в рассматриваемом представлении '(матричные элементы операторов с, с+ из (2,15)) диагонален, и его собственные значения совпадают, конечно, с (2,12).
В классической теории импульс поля определяется как интеграл;
Р = ^$[ЕН1Л.
При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами ,(2,19) и без труда находим
P=?y(?L + C02QL)n (2,24)
ka
— в соответствии с известным классическим соотношением между энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения этого оператора
Р = ?k(wka + Y)- (2,25)
ka
Представление операторов, осуществляемое матричными элементами (2,15), есть «представление чисел заполнения», — оно отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания квантовых чисел Nka (числа заполнения). В этом представлении операторы поля (2,19) (а с ними и гамильтониан (2,11)) действуют на волновую функцию системы, выраженную в функции
