Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Приведем для справок выражения, получающиеся из (52,3) в некоторых частных случаях (значение I указываем спектроскопическим символов s, р, d, ...) :
|(ls II Г II np) Р i%nl trL ~ 1)2П~5
(«+ 1)2П + 5
I (2s II r || np) f
a 2l7n7 (n2 — l) (я — 2)2fl~s
I (2p II r || nd) |2 =
(n + 2)2п+6 2,9п9(п*-1)(п-2)2п~т
(52,4)
3 (n + 2fl+?
15 9
I <2p Ik II ns) |2 = ° “
|2 _ 215«9 (n - 2)2fl~6
3 (n + 2)2п+6
‘) В этом параграфе пользуемся атомными единицами. В обычных единицах написанные ниже выражения для матричных элементов координаты должны быть умножены на Й2/те2 (если.же речь идет о водородоподобном ионе с номером Z, то на h2/mZe2).
2) Во введенных там обозначениях речь идет о вычислении интеграла j\l+2 я + ^ + *> — п' + 0- Оно осуществляется с помощью формул (f, 12—16).
3) Численные таблицы матричных элементов и вероятностей переходов
для водорода можно найти в книге: Бете Г., Солпитер Э. Квантовая меха-
ника атомов с одним и двумя электронами. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
226 ИЗЛУЧЕНИЕ [ГЛ. V
Формула (52,3) непригодна для яереходов без изменения главного квантового числа п (переходы между компонентами тонкой структуры уровня). В этом случае (п — п') для осуществления интегрирования исходим из представления радиальных функций через обобщенные полиномы Лагерра:
к., - -тг (т)‘(т) • <52’5>
В интеграле
оо оо
\ Rnj-xRnlrZdr СО jj e~9Ql+2Ln+\ (р) Ln+tl-i(p)dp
о о
заменяем один из полиномов его выражением через производящую функцию (см. Ill, § d):
,2г+1/„ч (я+ 01 .P.-2J-1 ( d \n-i-x _-Рл+1
Ln+i (Р) = - 77Г- “i)i е р IdpJ * Р •
После (п—I — 1)-кратного интегрирования по частям получим интеграл вида
jjVy+i (¦^-)П 1 Vn+/-i(p)dp,
о
в котором заменяем полином Лагерра его явным выражением согласно формуле
п—т
й(р)=(-1г-.1
ft-о
После проведения дифференцирования в сумме остается всего три члена, после чего интегрирование элементарно. Вычисление приводит к простому результату:
(п, I— \ \\г\\п1)^=1л/Т -пл/п2 — 12. (52,6)
Интеграл
оо оо
J Rn', i-iRnir3 dr = J Xn', I-1 (rXni" dr
о 0
(где %ni — rRni) представляет собой коэффициент разложения функции r%ni по системе ортогональных функций Хп‘, = 1,
2, ...). Сумма квадратов модулей этих коэффициентов равна
ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА
227
интегралу от квадрата разлагаемой функции1). Поэтому
оо
]Г I <П', / - 11! ГIIШ) f = / 5 r2^ dr. (52,7)
гс' О
Воспользовавшись известным выражением для среднего квадрата г2 в состоянии nl (см. III (36,16)), найдем следующее правило сумм:
Z I («', l-\\\r\\nl)f = l^- [5л2 + 1 - 31 (I + 1)]. (52,8)
п' z
При заданных значениях я, I и больших значениях я' матричный элемент перехода nl яV убывает по закону
\(nT\\r\\nl) (52,9)
в чем можно убедиться как из частных выражений (52,4), так и из общей формулы (52,3). Этот результат вполне естествен: ку-лоновы уровни энергии Е' = —1/2я'2 при больших я' расположены квазинепрерывно, и вероятность перехода на какой-либо уровень в интервале dE' пропорциональна плотности расположения этих уровней, которая сама ос я'-3.
Эффект Штарка в водороде имеет, как известно, специфический характер (см. III, § 77) — расщепление пропорционально первой степени электрического поля. При этом поле предполагается хотя и не сильным (условие применимости теории возмущений), но в то же время таким, чтобы расщепление уровней
было велико по сравнению с их тонкой структурой. В этих условиях величина момента вообще не сохраняется и уровни должны классифицироваться по параболическим квантовым числам п.\, я2, т. Последнее из них — магнитное квантовое число т — по-прежнему определяет проекцию орбитального момента на ось z (направление поля), которая в данных условиях (пренебрежение спин-орбитальным взаимодействием) сохраняется. Поэтому для него имеет место обычное правило отбора
т' — т = 0, ±1. (52,10)
Ограничений же для изменения чисел п.\, я2 не имеется.
Матричные элементы дипольного момента в параболических координатах тоже могут быть вычислены аналитически. Получающиеся формулы, однако, очень громоздки, и мы не станем приводить их здесь 2).
') Суммирование производится по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров.
2) Эти формулы и соответствующие численные таблицы см. в указанной выше книге Г. Бете и Э. Солпитера.
228
ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. V
Задачи
1. Найти штарковское расщепление уровней водорода в случае, когда расщепление мало по сравнению с интервалами тонкой структуры (но велико по сравнению с лэмбовским сдвигом).
Решение. В указанных условиях остается двукратное вырождение ревозмущенных уровней с I = j ± У2, в связи с чем штарковское расщепление остается линейным по полю. Значение расщепления Д определяется из секулярного уравнения
U~t>„
(индексы 1, 2 отвечают состояниям с I = / ± '/2 и заданным магнитным квантовым числом т; возмущение V = —Edz диагонально по т и не имеет элементов, диагональных по I). Матричный элемент орбитальной величины dt вычисляется с помощью формул III (29,7), III (109,3), согласно которым
(J, I — 1, т | dz | /7т) =¦ =?L ====- (/, I — 1Ц d Ц /7),
