Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
2) В этом параграфе пользуемся обычными единицами.
16
ВВЕДЕНИЕ
ники. Только благодаря ему можно ввести понятие, о волновой функции, основное в аппарате этой теории. Действительно, физический смысл волновой функции г|)(*7) заключается в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность получения, в результате произведенного в данный момент времени измерения, того или иного значения координаты электрона. Ясно, что необходимой предпосылкой для введения понятия о такой вероятности является принципиальная возможность осуществления сколь угодно точного и быстрого измерения координаты; в противном случае это понятие стало бы беспредметным и потеряло бы свой физический смысл.
Существование предельной скорости (скорости света с) приводит к новым принципиальным ограничениям возможностей измерения различных физических величин {Л. Д. Ландау, R. Peierls, 1930).
В III, § 44 было получено соотношение
(v' — v) Ар At ~ Ь, (1,1)
связывающее неопределенность Ар измерения импульса электрона с продолжительностью At самого процесса измерения; v и v' — скорости электрона до и после измерения. Из этого соотношения следует, что добиться достаточно точного измерения импульса в течение достаточно короткого времени (т. е. малого Ар при малом At) можно лишь ценой достаточно большого изменения скорости в результате самого процесса измерения. В нерелятивистской теории это обстоятельство есть проявление неповторимости измерения импульса через короткие промежутки времени, но ни в коей мере не затрагивает принципиальной возможности сколь угодно точного однократного измерения импульса, поскольку разность v' — v может быть сделана сколь угодно большой.
Наличие же предельной скорости меняет положение вещей коренным образом. Разность v' — v, как и самые скорости, не может теперь превышать с (точнее, 2с). Заменив в (1,1) v' — v на с, мы получим соотношение
ApAt~ti!c, (1,2)
определяющее наилучшую принципиально достижимую точность измерения импульса при данной продолжительности измерения At. Таким образом, в релятивистской теории оказывается принципиально невозможным сколь угодно точное и быстрое измерение импульса. Точное измерение импульса (Др-»-0) возможно лишь в пределе бесконечно большой продолжительности измерения.
Есть основания считать, что претерпевает изменения также и волрос об измеримости координаты электрона самой по себе.
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
17
В математическом формализме теории это проявляется в несовместимости точного измерения координаты с утверждением
о положительности энергии свободной частицы. Мы увидим в дальнейшем, что полная система собственных функций релятивистского волнового уравнения свободной частицы включает в себя (наряду с решениями с «правильной» зависимостью от времени) также решения с «отрицательной частотой». Эти функции войдут, в общем случае, и в разложение волнового пакета, отвечающего электрону, локализованному в небольшом участке пространства.
Волновые функции «отрицательной частоты» связаны, как будет показано, с существованием античастиц — позитронов. Появление этих функций в разложении волнового пакета выражает собой неизбежное в общем случае образование электрон-пози-тронных пар в процессе измерения координат электрона. Неконтролируемое самим процессом возникновение новых частиц лишает смысла измерения координат электрона.
В системе покоя электрона минимальная погрешность измерения его координат
Aq ~ Ь/тс. (1,3)
Этому значению (единственно допустимому уже из соображений размерности) отвечает неопределенность импульса Ар ~ тс, которая, в свою очередь, соответствует минимальной пороговой энергии образования пары.
В системе отсчета, в которой электрон движется с энергией е, вместо (1,3) имеем
Aq ~ cti/e. (1,4)
В частности, в предельном ультрарелятивистском случае энергия связана с импульсом соотношением е ж ср, и тогда
Aq~h/p, (1,5)
т. е. погрешность Aq совпадает с дебройлевской длиной волны частицы ').
Для фотонов всегда имеет место ультрарелятивистский случай, так что справедливо выражение (1,5). Это значит, что о координатах фотона имеет смысл говорить только в тех случаях, когда характерные размеры велики по сравнению с длиной волны. Но это есть не что иное, как «классический» предельный случай, соответствующий геометрической оптике, в которой
') Речь идет об измерениях, для которых из любого результата опыта можно сделать заключение о состоянии электрона, т. е. мы отвлекаемся от измерений координат с помощью столкновений, когда за время наблюдения результат осуществляется не с вероятностью 1. Хотя из факта отклонения частицы в таком случае можно сделать заключение о местоположении электрона, из отсутствия отклонения вообще нельзя сделать никаких
выводов.
18
ВВЕДЕНИЕ
можно говорить о распространении света вдоль определенных траекторий — лучей. В квантовом же случае, когда длина волны не может рассматриваться как малая, понятие координат фотона становится беспредметным. Мы увидим в дальнейшем (см. § 4), что в математическом формализме теории неизмеримость координат фотона проявляется уже в невозможности составить из его волновой функции величину, которая могла бы играть роль плотности вероятности, удовлетворяющей необходимым требованиям релятивистской инвариантности.
