Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
15
Одной из таких неизменяющихся или, как говорят, сохраняющихся величин является полный импульс системы. Он представляет собой векторную сумму импульсов каждой из материальных точек, входящих в состав замкнутой системы. Вектор же импульса материальной точки связан простым соотношением с ее скоростью: он пропорционален ей. Коэффициент пропорциональности является характерной для каждой материальной точки постоянной и называется массой материальной точки. Обозначая через р вектор импульса частицы и через т ее массу, мы можем написать
р = то,
где v—скорость частицы. Сумма векторов р, распространенная на все частицы замкнутой системы, представляет собой полный импульс системы:
P= Pi + P2 + • • ¦ = ^1V1 +HizV2+...,
где индексы нумеруют отдельные частицы. Эта величина не меняется с течением времени:
P = COnst.
Итак, полный импульс замкнутой системы сохраняется. Это утверждение называется законом сохранения импульса. Мы вернемся еще в § 15 к вопросу о происхождении этого закона.
Так как импульс есть вектор, то закон сохранения импульса распадается на три закона, выражающих постоянство во времени трех компонент полного импульса.
В закон сохранения импульса входит новая величина — масса частицы. Используя этот закон, можно определить отношения масс частиц. Действительно, представим себе, что две материальные точки сталкиваются друг с другом. Обозначим их массы через т1 и т2. Пусть V1 и V2 обозначают скорости частиц до столкновения, a v[ и v'2—после столкновения. Тогда из закона сохранения импульса следует, что
Iri1V1 + m2v2 = /Ti1V1l + m2v\.
Обозначая через Av1 и Дг>2 изменения скоростей обеих частиц, перепишем это соотношение в виде
m1 HiV1 + т2 Af2 = О, i<3
МЕХАНИКА ТОЧКИ
[ГЛ. I
откуда
Av0 = —-Af1.
т2 1
Таким образом, изменения скоростей двух взаимодействующих частиц обратно пропорциональны их массам. Пользуясь этим соотношением, можно по изменению скоростей частиц определить отношение их масс. Поэтому мы должны условно выбрать массу какого-либо тела за единицу и относить к ней массу всех других тел. В качестве такой единицы массы в физике обычно принимается грамм (см. § 8).
§ 4. Реактивное движение
Закон сохранения импульса представляет собой один из фундаментальных законов природы и проявляется в целом ряде явлений. В частности, он лежит в основе реактивного движения.
Покажем, как найти скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы. Обозначим скорость ракеты в некоторый момент времени t через V, а массу через М. Пусть в этот момент времени начинают выходить выхлопные газы, скорость которых относительно ракеты равна и. Через время dt масса ракеты уменьшится и станет равной M -VdM, где —dM — масса вышедшего газа, а скорость увеличится и станет равной v + dv. Сравним теперь импульсы системы ракета + выхлопные газы в моменты времени t и t-'-di. Первоначальный импульс равен, очевидно, Mv. Импульс ракеты в момент времени t-\-dt равен (M-'rdM) (v-\dv) (величина dM отрицательна), а импульс выхлопного газа равен —dM(v—и), так как скорость газа относительно Земли равна, очевидно, v — и (рис. 2). Согласно закону сохранения импульса мы должны приравнять величины импульсов в оба момента времени:
Mv = (М Ь dM) (V + dv) — dM(v - и),
ШШШШШШШ7/.
Рис. 2. ЦЕНТР ИНЕРЦИИ
17
откуда, пренебрегая бесконечно малой второго порядка dM dv, получим
M dv + udM'= О,
или
dM_ dv
~М и '
Мы будем считать, что скорость истечения газа не меняется с течением времени. Тогда последнее равенство можно переписать в виде
d\nM = —d —,
и '
откуда следует, что
In M + — = const. и
Значение const определяется из условия, что в начале движения ракеты, т. е. при v=0, масса ракеты равнялась Mn: const = In M0.
Подставляя это значение в полученное соотношение, найдем
In M + -J = In M0, откуда окончательно
Эта формула определяет скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы.
§ 5. Центр инерции
С законом сохранения импульса связано важное свойство массы — закон сохранения массы. Чтобы разъяснить содержание этого закона, рассмотрим для замкнутой системы частиц точку, называемую центром инерции системы. Координаты центра инерции представляют собой средние значения координат частиц, причем координата каждой частицы считается столько раз, сколько единичная масса содержится в массе частицы. Иными словами, если X1, х2, . . . обозначают х-координаты частиц с массами т1у т2, . . ., то х-координата центра инерции определяется формулой X — "'1*1+ W2*2-|" ¦ • •
~~ Wt1+OT8+... i<3
МЕХАНИКА ТОЧКИ
[ГЛ. I
Аналогичные формулы можно написать также для у- и г-координат. Все эти формулы записываются в векторной форме в виде одного выражения для радиуса-вектора/? центра инерции:
п— Ю1Гх + /П8Г8+...
Itil + т2 -f... *
где гь г2, • ¦ ¦— радиусы-векторы отдельных частиц.
Центр инерции обладает замечательным свойством — он движется с постоянной скоростью, в то время как отдельные частицы, входящие в состав замкнутой системы, могут двигаться со скоростями, изменяющимися с течением времени. Действительно, рассмотрим скорость движения центра инерции. Она равна
