Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ы =, [ті] = —-— , [и] = — , [с] =-- см.
CMi 1 11 см-сек 1 1 сек 1 J
Составим из них безразмерную величину. Прежде всего, исключить размерность г можно лишь одним способом — разделив т] на р, т. е. образовав отношение v=rj/p с размерностью [vj=сл«2/сек. Далее, для исключения размерности¦376
вязкость
[гл. XV
сек делим и Hav: \и/х\=\/см. Безразмерную величину мы получим, умножив отношение u/v на радиус о. Эту величину обозначают символом Re
P _иа_р иа
~ v ~ Т]
и называют числом Рейнольдса; она является очень важной характеристикой движения жидкости. Очевидно, что всякая другая безразмерная величина может быть только функцией числа Рейнольдса.
Вернемся к определению силы сопротивления. Она имеет размерность г -см/сек2. Величиной с такой размерностью, составленной из тех же параметров, является, например, PU2O1. Всякая другая величина той же размерности может быть представлена в виде произведения ри2а2 на некоторую функцию безразмерного числа Рейнольдса. Поэтому можно утверждать, что искомая сила сопротивления выражается формулой вида
F = PU2U2f (Re).
Разумеется, неизвестная функция /(Re) не может быть определена из соображений размерности. Но мы видим, что с помощью этих соображений нам удалось свести задачу об определении функции четырех параметров — силы F в зависимости от р, rj, и и а — к задаче об определении всего одной функции /(Re). Эта функция может быть определена, например, экспериментально. Измерив силу сопротивления, испытываемую каким-либо одним шариком в какой-либо одной жидкости, и построив по полученным данным график функции /(Re), мы тем самым получим возможность узнать силу сопротивления для движения любого шара в любой жидкости.
Изложенные соображения имеют общий характер и относятся, конечно, к стационарному движению в жидкости тел не только шарообразной, но и любой другой формы. Под величиной а в числе Рейнольдса надо при этом понимать какой-либо линейный размер тела заданной формы, и мы получаем возможность сравнивать течения жидкости вокруг геометрически подобных тел, отличающихся лишь своими размерами.
Движения, отличающиеся значениями параметров р, tj, и, а при одинаковом значении числа Рейнольдса, называют§ 121]
формула ctokca
377
подобными. Вся картина движения жидкости в таких случаях отличается лишь масштабами всех своих характеристик: расстояний, скоростей и т. д.
Хотя мы для краткости говорим все время о жидкости, но все сказанное относится и к газам. Единственное условие, которое подразумевается выполненным,— что плотность среды (жидкости или газа) в процессе движения не испытывает сколько-нибудь заметного изменения, так что ее можно считать постоянной; в таких случаях движущуюся среду называют несжимаемой. Хотя с обычной точки зрения газ является легко сжимаемой средой, но те изменения давления, которые возникают в газе при его движении, обычно недостаточны для сколько-нибудь существенного изменения его плотности. Газ перестает вести себя как несжимаемая среда лишь при скоростях, сравнимых со скоростью звука.
§121. Формула Стокса
Вернемся снова к силе сопротивления F, испытываемой движущимся в жидкости (или газе) телом.
При достаточно малых скоростях движения сила сопротивления всегда пропорциональна первой степени скорости. Для того чтобы получить такую зависимость из формулы
F = р«2й2/ (Re),
мы должны считать, что при малых скоростях функция /(Re) имеет вид /(Re)=const/Re. Тогда мы получим
F = constrj?a.
Мы видим, что из пропорциональности силы сопротивления скорости движения автоматически следует также и ее пропорциональность линейным размерам тела (и коэффициенту вязкости жидкости).
Определение коэффициента пропорциональности в этом законе требует более детальных вычислений. Для движения шара в жидкости оказывается, что const=6jt, т. е.
F = блт\аи,
где а — радиус шара (эта формула называется формулой Стокса).¦378
вязкость
[гл. XV
Изложенное выше рассуждение позволяет указать более точно, что именно подразумевается под «достаточной малостью» скорости движения, обеспечивающей применимость формулы Стокса. Поскольку речь идет о виде функции /(Re), то искомое условие должно относиться к значениям числа Рейнольдса, а поскольку число Re и скорость и (при заданных размерах тела) пропорциональны друг другу, то ясно, что условие малости скорости должно быть выражено в виде условия малости безразмерного числа Re:
п аи 1
Re= —
V
Отсюда видно, что условие «достаточной малости» скорости имеет относительный характер. Фактическая величина допустимых скоростей зависит от размеров движущегося тела (и от вязкости жидкости). При очень малых размерах (например, для взвешенных в жидкости мельчайших частиц, совершающих броуновское движение) формулу Стокса можно применять и для скоростей, которые с других точек зрения уже нельзя было бы считать малыми.
Если шар движется в жидкости под влиянием действующей на него внешней силы P (например, силы тяжести с учетом частичной потери веса в жидкости), то, в конце концов, установится равномерное движение с такой скоростью, при которой сила P как раз компенсирует силу сопротивления. Из равенства P=F находим, что эта скорость равна