Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. пропорциональна скорости плоскостей и0 и обратно пропорциональна расстоянию между ними.
Рассмотрим, далее, течение жидкости по цилиндрической трубке с радиусом а и длиной L. Давления P1 и рг,
/
Рис. 1.
ными твердыми • плоскостями, промежуток между которыми заполнен жидкостью с вязкостью Г]. Пусть U0 есть скорость этого движения, a h — расстояние между плоскостями (на рис. 1 нижняя плоскость покоится, а верхняя движется со скоростью и0). «Примыкающая» к стенкам
п — "оЧ ~7Г • § П9]
формула пуазейля
373
поддерживаемые на концах трубки, различны; жидкость течет по трубке под влиянием перепада давлений Ap=р2—/?, . Скорость и течения жидкости направлена везде вдоль оси трубки, а по величине меняется в перпендикулярном оси (радиальном) направлении в зависимости лишь от одной координаты — расстояния г от оси. Мы можем поэтому написать для потока импульса, переносимого в радиальном направлении, выражение
гт du
Il = — Пі~-
1dr
Рассмотрим объем жидкости, ограниченный проведенной внутри трубки коаксиальной с ней цилиндрической поверхностью некоторого радиуса г. Полный поток импульса через эту поверхность (площадь которой есть 2nrL) равен
2nrLH = — 2nrLi] ~ .
Это и есть сила трения, действующая на рассматриваемый объем жидкости со стороны остальной жидкости. Она компенсируется силой перепада давлений (приложенных к основаниям цилиндра), равной пг2Ар. Приравнивая эти силы, получим уравнение
du
откуда
dr 2Lr\
-щ Ap+ const.
Произвольная постоянная определяется из условия равенства нулю скорости на самой поверхности трубки, т. е. при г=а. Окончательно получаем
Таким образом, текущая в трубке жидкость имеет, как говорят, параболический профиль скоростей: скорость меняется по квадратичному закону от нуля на стенке до максимального значения (uMaKC=u2Ap/4Li]) на оси трубки (рис.2).
Определим количество (массу М) жидкости, вытекающей в единицу времени из трубки. Обозначим через V(r) объем жидкости, вытекающей в единицу времени через цилиндр 874
ВЯЗКОСТЬ
[гл. XV
радиуса г. Очевидно, что дифференциал этой функции dV (г) = и (г) dS,
где и(г) — скорость жидкости на расстоянии г от оси, а dS — площадь кольца радиуса г и ширины dr. Поскольку dS=2nrdr, то
dV (г) = 2яги dr = ^E (а2 - г*) г dr = 3^ (а2 - г2) d (г2).
Отсюда
1/ <г\- ^2.2 Г4
/
(произвольная постоянная положена равной нулю, поскольку должно быть V7(O)=O). Полный объем жидкости, вытекающей из трубки за 1 сек, есть значение V(r) при г=а. Умножив его на плотность жидкости р, найдем искомую массу пАр 4
M-
SLv
Рис °
Эта формула называется формулой Пуазейля. Мы видим, что количество вытекающей из трубки жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубки.
Рассмотренные примеры относятся к числу стационарных течений жидкости — скорость жидкости в каждом месте потока постоянна во времени. Упомянем здесь один пример нестационарного движения.
Предположим, что погруженный в жидкость диск совершает крутильные колебания в своей плоскости; увлекаемая диском жидкость тоже приходит в колебательное движение. Эти колебания, однако, затухают по мере удаления от диска, и возникает вопрос о порядке величины расстояния, на котором происходит существенное затухание. Этот вопрос формально не отличается от рассмотренного в § 111 аналогичного вопроса для тепловых колебаний, создаваемых пластинкой с переменной температурой. Мы получим искомую «глубину проникновения» L колебательного движения в жидкость, заменив в найденной в § 111 формуле коэффициент температуропроводности % кинематической § 120]
метод подобия
275
вязкостью жидкости v:
где ?0 — частота колебаний.
§ 120. Метод подобия
Мы рассмотрели простейшие задачи о движении жидкости. В более сложных случаях точное решение задачи наталкивается обычно на очень большие математические трудности и, как правило, оказывается невозможным. Например, не может быть решена в общем виде задача о движении в жидкости тела даже такой, казалось бы, простой формы, как шар.
В связи с этим при исследовании различных вопросов о движении жидкости приобретают большое значение простые методы, основанные на соображениях о размерности тех физических величин, от которых это движение может зависеть.
Рассмотрим, например, равномерное движение твердого шара через жидкость, и пусть задача заключается в определении испытываемой шаром силы сопротивления F. !Вместо того чтобы говорить о движении тела через жидкость, можно было бы говорить и о вполне эквивалентной задаче об обтекании неподвижного тела потоком жидкости; такая постановка задачи отвечает наблюдениям над обтеканием тел потоком газа в аэродинамической трубе.]
Физические свойства жидкости, определяющие ее течение или движение в ней посторонних тел, характеризуются всего двумя величинами: ее плотностью р и коэффициентом вязкости г]. Кроме того, в рассматриваемом случае движение зависит еще от скорости шара и и от его радиуса а.
Таким образом, в нашем распоряжении имеется всего четыре параметра со следующими размерностями:
