Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Можно обратить и это соотношение, как мы сделали выше для случая диффузии. В связи с этим рассмотрим следующий вопрос. Допустим, что на поверхности тела искусственно создаются колебания температуры с некоторой частотой о. Эти колебания будут проникать и внутрь тела, создавая, как говорят, тепловую волну. Амплитуда колебаний температуры, однако, будет затухать по мере углубления внутрь тела, и возникает вопрос о том, на какую глубину L колебания проникнут. Роль характерного промежутка времени играет в этом явлении период колебаний, т. е. величина, обратная частоте. Подставив 1 /со вместо времени t в соотношение, связывающее расстояние распространения тепла со временем, получим
чем и решается поставленный вопрос.
§ 112. Длина свободного пробега
Переходя к изучению теплопроводности и диффузии в газах, мы должны предварительно остановиться на характере взаимодействия молекул газа несколько подробнее, чем мы это делали до сих пор.
t'—' — ^
Ii 2 L2 р С
P
X § П2]
длина свободного пробега
ЗБЗ
Взаимодействие между молекулами газа осуществляется путем их столкновений. В течение большей части времени молекулы находятся сравнительно далеко друг от друга и движутся как свободные, практически не взаимодействуя друг с другом. Молекулы вступают во взаимодействие лишь на короткие промежутки времени, на период их взаимных столкновений. Этим газ отличается от жидкости, где молекулы находятся в непрерывном взаимодействии, и об их отдельных «столкновениях» не может быть и речи.
Сталкиваться молекулы могут самым различным образом. Строго говоря, при всяком пролетании молекул друг мимо друга на не слишком большом расстоянии они как-то изменяют свои скорости. Поэтому самое понятие «столкновения» не имеет вполне точного смысла. Для того чтобы сделать это понятие более определенным, мы будем понимать под столкновениями только те случаи, когда молекулы проходят настолько близко друг от друга, что взаимодействие существенно меняет их движение, т. е. их скорости существенно меняются по величине или направлению.
Столкновения молекул в газе происходят совершенно беспорядочно. Поэтому и путь, проходимый молекулой между испытываемыми ею двумя последовательными столкновениями, может быть самым разнообразным. Можно, однако, ввести понятие о некоторой средней величине длины пробега молекул газа между столкновениями. Это расстояние, которое называют просто длиной свободного пробега молекул, является важной характеристикой молекулярно-ки-нетических свойств газа; будем обозначать его буквой I. Наряду с этой величиной можно рассматривать также и среднее время т между двумя последовательными столкновениями. Очевидно, что по порядку величины
I
где V — средняя скорость теплового движения молекул.
Рассмотрим две сталкивающиеся молекулы, из которых одну будем считать неподвижной. Представим себе, что неподвижная молекула находится в некоторой плоскости, а движущаяся молекула пересекает эту плоскость. Как было указано, мы говорим о столкновении молекул только в тех случаях, когда они проходят настолько близко друг oft
12 Л. Д. Ландау и др. 354
диффузия и теплопроводность
[гл. XIV
друга, что их движение существенно меняется. Это значит, что движущаяся молекула в нашем примере испытает столкновение с неподвижной, только если она пересечет плоскость где-либо в пределах определенной небольшой площадки, описанной вокруг неподвижной молекулы. Эта «прицельная» площадь, в которую должна попасть молекула, называется эффективным сечением (или просто сечением) столкновений; обозначим его буквой а.
Определим в качестве примера эффективное сечение столкновений для молекул, рассматриваемых как твердые шарики с радиусами г0. Наибольшее расстояние между центрами двух шариков, на котором они могут пройти так, чтобы еще коснуться друг друга, равно 2г0. Поэтому «прицельная» площадь, в которую должна попасть молекула для того, чтобы произошло столкновение, есть круг с радиусом 2г0 вокруг центра неподвижной молекулы. Таким образом, эффективное сечение столкновений в рассматриваемом случае равно
о = 4я rl,
т. е. учетверенной площади поперечного сечения шарика.
В действительности, конечно, молекулы не являются твердыми шариками. Однако поскольку сила взаимодействия двух молекул очень быстро убывает с увеличением расстояния между ними, то столкновения происходят лишь, если молекулы почти «задевают» друг друга. Поэтому эффективное сечение столкновений имеет порядок величины площади поперечного сечения молекулы.
Пусть молекула при своем движении прошла 1 см. Представим себе, что молекула при этом вырезает из пространства объем длиной 1 см и площадью поперечного сечения а; объем этой цилиндрической области равен 0. Молекула на своем пути столкнется со всеми теми молекулами, которые находятся внутри этого цилиндра. Пусть п — число молекул в единице объема. Тогда число молекул в объеме а есть по. Таким образом, на пути в 1 см молекула испытывает по столкновений. Среднее же расстояние между двумя столкновениями, т. е. длина свободного пробега, имеет порядок величины § 113] диффузия и теплопроводность в газах
