Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Курс общей физики. Механика и молекулярная физика" -> 110

Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика — МГУ, 1962. — 405 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfiziki1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 136 >> Следующая


ВСЕСТОРОННЕЕ СЖАТИЕ

321

тельные при растяжении и отрицательные при сжатии) обозначим через Kx, Ky, Kz.

Будем рассматривать эту деформацию как результат трех последовательных простых растяжений вдоль каждой из осей. Так, при растяжении под действием напряжения рх тело удлиняется вдоль направления х и укорачивается в поперечных направлениях у иг, причем

Px E

Ky = Kz=-OKx = -Sgs-

Суммируя результаты трех таких деформаций, получим следующие формулы:

К

Px-а (Pv +Pz)

у—о (Px+Pz)

K =

Рг—я(Рх + Ру)

Найдем также, чему равно изменение объема тела при деформации. Объем параллелепипеда с длинами ребер lx, Iy, Iz есть V=IxIyIz. Прологарифмируем это выражение:

InV=In Ix + In Iy +In I2

и напишем его дифференциал 6V Ых . 6/„ . 6L

Pa

V

L

Три члена этой суммы представляют собой относительные удлинения вдоль соответствующих осей. Поэтому

f — ^x + \ "I" К>

Py

Iili

ҐУ Рис. 2.

т. е. относительное изменение объема

равно сумме относительных удлинений по трем взаимно

перпендикулярным направлениям.

Подставив сюда написанные выше выражения для Kx, Ky, Kz, получим

6V 1—2о , .

-Y=-E- (Рх + Ру + Рг)-

11 Л. Д. Ландау и др. 322

ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

[ГЛ. XIii

Рассмотрим некоторые интересные частные случаи однородных деформаций.

Если тело подвергается одинаковым со всех сторон растягивающим (или сжимающим) усилиям, т. е. если действующие в нем упругие напряжения одинаковы во всех направлениях (Px=Py==Pz), то одинаковы и относительные изменения всех размеров тела (Kx=Ky=tKz-K). Такая деформация называется всесторонним растяжением (или сжатием). При этом

. 1— 2а

я = —р,

а относительное изменение объема

OV _ р

где коэффициент

K-

"3(1—2о)

называется модулем всестороннего сжатия. Обратная ему величина (1/К) совпадает, очевидно, с коэффициентом сжимаемости

dV dp

1

который мы рассматривали в § 58. Таким образом, полученная формула связывает обычную сжимаемость твердого тела с его модулем Юнга и коэффициентом Пуассона.

Упругая энергия, запасенная в теле (в единице его объема) при всестороннем сжатии, равна

U = Y (КРх + \Ру + КРг) =1^=^=^.

Величина К у всех тел должна быть положительной — объем тела увеличивается при растяжении и уменьшается при сжатии. В § 70 было указано, что тела с обратной зависимостью объема от давления были бы абсолютно неустойчивы и потому не могут существовать в природе. [Это видно также и из написанной только что формулы для упругой энергии: при К-<0 эта энергия была бы отрицательной, а поскольку механическая система стремится перейти в состояние с наименьшей потенциальной энергией, то такое те- § 103]

сдвиг

323

ло стремилось бы самопроизвольно неограниченно деформироваться.]

Из положительности К следует, что должно быть и 1—2а > 0, так что

^ 1

0<-2 >

т. е. коэффициент Пуассона не может превышать 1/2.

Рассмотрим еще сжатие бруска, зажатого боковыми стенками настолько жестко, что его поперечные размеры можно считать неизменяющимися (рис. 3); в таком случае говорят об одностороннем сжатии.

Пусть направлению сжатия соответствует ось X. В силу реакции стенок, препятствующих боковому расширению бруска, в нем возникают поперечные напряжения ру и р2. Их величина определяется из условия неизменности раз- Рис- 3-меров бруска вдоль осей у uz (Ky= Хг=0), причем из соображений симметрии заранее очевидно, что Py=Pz- Написав

^ __ Py—0 (Px + Pz) _Р_у (I-O)-OPx^n

найдем, что поперечные напряжения связаны с сжимающим давлением рх соотношением

о

1

Px-

Продольное же сжатие бруска определится формулой

Px-O (Ру+Pz) _ 1— о—2о2 — E ~~ E(I-O) Рх~

§ 103. Сдвиг

При всестороннем сжатии форма тела остается подобной самой себе, меняется лишь объем тела. Большой интерес представляют также деформации обратного характера, при которых меняется только форма, но не объем тела. Такие деформации называют сдвигом. 324

ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

[ГЛ. XIII

Неизменность объема означает, что ^ = ^ + ^, + ^ = 0.

Отсюда следует, что и

Р* + Ру + Рг = 0-Подставив ру+р2=—рх в формулу

. Px-о(Ру + Р2)

л* =-? .

найдем, что относительное удлинение (или укорочение) вдоль какого-либо из ребер бруска и действующее в том же направлении напряжение связаны формулой

Л -1+%

Г"Х - ? IjX-

В это соотношение входит величина ?У(1+сг). Половину этой величины называют модулем сдвига G

r E

2(1 +о) *

Проще всего, однако, осуществить деформацию сдвига, прилагая к бруску силы не перпендикулярные, а касательные к'его поверхности. Пусть нижняя грань бруска закреплена неподвижно, а к верхней грани приложены силы, действующие в ее плоскости; направленные таким образом напряжения часто называют скалывающими. Под действием этих сил параллелепипед скосится, как показано на рис. 4. Угол скоса ? (на-Рис. 4. зываемый углом сдвига) при малых

деформациях (которые мы только и рассматриваем) является малой величиной. В первом приближении можно считать, что высота параллелепипеда не изменится, поэтому не изменится и объем, т. е. мы действительно имеем дело с деформацией сдвига. Можно показать, что угол сдвига ? связан с величиной р скалывающей силы (приложенной к 1 см2 площади) соотношением § 103]
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed