Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
[ГЛ. XIII
вызывающих их напряжений, а тем самым и величине приложенных к телу внешних сил. Это утверждение называется законом Гука.
Для простого растяжения закон Гука означает пропорциональность между относительным удлинением Я и растягивающим напряжением р. Это соотношение принято записывать в виде
где коэффициент E характеризует материал тела и называется модулем Юнга. Относительное удлинение К есть, очевидно, величина безразмерная. Поэтому размерность модуля E совпадает с размерностью р, т. е. модуль Юнга имеет размерность давления.
Приведем для иллюстрации значения модуля Юнга (в миллионах бар) для некоторых материалов:
Иридий..... 5,2 Кварц......0,73
Сталь......2,0—2,1 Свинец......0,16
Медь....... 1,3 Лед (-2°С) . . . 0.03
Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью свойства тела по отношению к его деформированию (или, как говорят, его упругие свойства). Это ясно видно уже в случае простого растяжения. Дело в том, что продольное растяжение стержня связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, стержень одновременно становится более тонким. Значение модуля Юнга позволяет вычислить (по заданному напряжению) относительное удлинение стержня, но оно недостаточно для определения поперечного сжатия.
Относительное уменьшение поперечных размеров стержня пропорционально тому же растягивающему напряжению р, а тем самым оно пропорционально и величине относительного растяжения К. Отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению есть характерная для каждого данного материала величина, которую называют коэффициентом Пуассона; обозначим его буквой о. Таким образом, относительное поперечное сжатие (например, относительное уменьшение диаметра § 101]
ПРОСТОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
319
растягиваемой проволоки) равно
Мы увидим ниже, что коэффициент Пуассона не может превышать 1I2. Для большинства материалов его значение лежит в интервале от 0,25 до 0,5. Значение о=0 достигается у пористых тел (например, у пробки), не меняющих при растяжении своих поперечных размеров.
Таким образом, упругие свойства твердого тела характеризуются двумя величинами: E и о. Подчеркнем, однако, что в наших рассуждениях мы молчаливо подразумеваем, что твердое вещество изотропно (обычно речь идет о пол и к р иста лл иадских материалах). Деформация же анизотропного тела — монокристалла — зависит не только от расположения внешних сил по отношению к телу, но и от ориентации кристаллографических осей внутри него. Естественно, что упругие свойства кристаллов характеризуются большим числом величин, чем у изотропных тел. Это число тем больше, чем ниже симметрия кристалла, и составляет от З в случае кубических кристаллов до 21 у кристаллов три-клинной системы.
Работа, производимая над деформируемым телом, запасается в нем в виде упругой энергии. Вычислим эту энергию для растянутого стержня. Работа, производимая растягивающей силой F при увеличении длины стержня на бесконечно малую величину Ci(I0K)=I0CitK, а тем самым и приращение упругой энергии
dU = Fl0 dK.
Подставив сюда F=Sp, р=ЕК и замечая, что произведение Sl0 есть объем V стержня, получим
SEK¦ I0 dK = VEK dk = VEd % .
Отсюда следует, что если относительное удлинение стержня меняется от нуля до некоторого К, то при этом производится работа ^VEKi. Другими словами, в каждой единице объема деформированного стержня содержится упругая энергия 320
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
[ГЛ. XIII
пропорциональная квадрату величины деформации. Ее можно представить также и в виде
й-
Простое растяжение относится к однородным деформациям, т. е. таким, при которых все элементы объема тела деформируются одинаковым образом. Тесно связанной с простым растяжением (или сжатием), но неоднородной деформацией является изгиб тонкого стержня. Характер этой деформации легко уяснить, представив себе прут, согнутый в окружность. До изгиба прут был прямолинейным, так что длины всех его «волокон» от одного конца до другого были одинаковыми. После изгиба это уже не так. Длина каждого волокна составляет 2пг, где г — радиус образуемой им окружности; но радиус прута по внутренней окружности меньше, чем по внешней. Отсюда ясно, что, в то время как внутренняя часть прута испытала деформацию сжатия, внешняя часть растянулась. Поскольку боковых сил к поверхности прута не приложено, то упругие напряжения в нем действуют только вдоль его длины. Это и значит, что при изгибе в каждом элементе объема дело идет о простом растяжении или сжатии, но различном для разных элементов: участки, лежащие ближе к выпуклой стороне согнутого стержня, растягиваются, а расположенные ближе к вогнутой стороне — сжимаются.
§ 102. Всестороннее сжатие
Формулы, относящиеся к простому растяжению, легко обобщить для произвольных однородных деформаций.
Пусть твердый брусок в форме прямоугольного параллелепипеда растягивается (или сжимается) действующими на него со всех сторон силами, распределенными равномерно по каждой из его граней (рис. 2). Эти силы создают в теле упругие напряжения, в общем случае различные в трех взаимно перпендикулярных направлениях (направления вдоль трех ребер параллелепипеда); обозначим их через рх, ру, pz, причем положительные их значения отвечают растягивающим усилиям, а отрицательные — сжимающим. Относительные же изменения длин в этих направлениях (положи- § 102]
