Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
больше площади II2, то мы могли бы заменить II2 зеркальным отражением П j Многоугольника II1 относительно диагонали d и получили бы многоугольник П.= II1 -+-II1' периметра 21, но большей площади, чем II. Покажем теперь, что для всякой вершины Ah угол AxAhAjlbl является прямым. Действительно, если бы один из этих углов для какой-нибудь вершины Ah не был прямым, то, мы разбили бы II1 на треугольник A1AhA^1 и два многоугольника H1, Hi, прилегающих к сторонам AjAfl и AnjclAh, и рассмотрели бы прямоугольный треугольник A j A hA '+1, катеты которого AtlAh и A'n + 1Ah соответственно равны сторонам A1 Ah и An+1Ah. Построив на катетах A1Ah и A'^Ah многоугольники H'v Н'2> соответственно равные многоугольникам HljH2, мы получим многоугольник П*. Отражая зеркально II* относительно прямой А^Ап+1 и соединяя многоугольник II*, и его зеркальное отражение в один замкнутый многоугольник II*, мы убедимся что П*, имея тот же периметр, что и П, ограничивает большую площадь, чем этот последний. В самом деле, прямоугольный треугольник A1AhAn^1 имеет большую площадь, чем непрямоугольный треугольник A1AhAn^1, тогда как многоугольники H1 и Hli соответственно равны многоугольникам H1 и H2. Таким образом интересующее нас экстремальное свойство правильного многоугольника доказано1). Совершенно тот же ответ мы получим и для обратной задачи: найти многоугольник, имеющий заданную площадь и наименьший периметр.
Изложенный здесь метод решения, в основе которого лежит классический принцип, принадлежащий Штейнеру, показывает, что в конкретных случаях наглядный геометрический метод может быстрее и убедительнее привести к цели, чем применение общего аналитического процесса.
е) Другие примеры. Наибольшее значение минимума. Другие типичные примеры, в которых речь идет »уже не о чистом максимуме или минимуме, нам уже многократно встречались раньше. Укажем, например, на определение собственных значений квадратичной формы как наибольших значений некоторых минимумов или на полиномы Чебышева (стр. 81).
2. Функционалы. Как и элементарная теория maxima" и minima, вариационное исчисление также занимается проблемами нахождения экстремумов или соответственно стационарных значений. Но основным отличием является то, что здесь речь идет уже не об экстремумах функций от конечного числа независимых переменных, а об экстремумах так называемых функционалов2). Под функционалом подразумевают величину
1J Подчеркнем еще раз, что существование экстремума установлено заранее на основании теоремы Вейерштрасса. В самом деле, если поместить одну вершину многоугольника в начале координат, то, так как периметр многоугольника имеет заданную конечную величину, все другие вершины должны лежать внутри ограниченной замкнутой области, т. е. координаты вершин многоугольника имеют ограниченную область изменения; площадь же многоугольника является непрерывной функцией координат его вершин, так что все условия теоремы Вейерштрасса выполнены.
2) Автор употребляет термин „Funktionenfunktion", дословно: „функция от функций" Так как в русской терминологии этот термин имеет другой смысл мы пользуемся термином „функционал" от французского „fonctionnelle". Во фран! цузской литературе пользуются также термином „lonction de ligne" (функция ли. нии). Прим. перев. 156
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
или функцию, которая зависит не от известного числа независимых переменных, изменяющихся в некоторых пределах, но зависит от всего хода изменения одной или нескольких функций, играющих здесь роль аргументов. Функции, от которых зависит функционал, являются в известной степени совершенно произвольными. -Простейшим примером такого функционала является длина L дуги кривой у=у{х) между значениями X = Xq и X = X1; эта длина задается интегралом:
Xo'
Величина L зависит от всего хода функции У(х), которую мы назовем „функциональным аргументом" функционала L. В качестве функционального аргумента мы можем в этом случае выбрать произвольную непрерывную функцию у(х) с кусочно непрерывной производной. Такие функционалы встречаются всюду в анализе и его приложениях, и многие важнейшие проблемы анализа в той или иной мере относятся к подобным зависимостям между функционалами и их функциональными аргументами.
Другим примером функционала является площадь части поверхности г = г\х, у), имеющей своей проекцией область G плоскости х, у. Эта
и Представляет собой функционал, имеющий своим функциональным аргрментом функцию z (х, у). С другими примерами функционалов мы уже познакомились в предыдущих главах. Так, функция
является при постоянном ядре К(х, у) функционалом, зависящим от функционального аргумента h(x); точно так же интегральная форма
является фунйционалом от функции tp (х).
В настоящей главе мы будем заниматься, главным образом, такими функционалами, которые задаются в виде интегралов, взятых от заданных выражений, содержащих функциональный аргумент, его производные и независимые переменные, как, например, приведенное выше выражение длины дуги кривой.
